Feladat: 278. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kántor Sándor 
Füzet: 1951/november, 138 - 140. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Ponthalmazok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/március: 278. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A két adott háromszög legyen ABC és DEF. Az ABC▵-ben legyen az X és a DEF▵-ben az Y pont.

 
 

Az OXYZ négyszög P középpontja csakis Y helyzetétől függ, független X-től, miután nem más, mint OY felezőpontja. Ha Y-t végigvezetjük DEF▵ kerületén, P egy DEF▵-höz hasonló és hasonló helyzetű, oldalakra nézve felére kicsinyített háromszöget, a D'E'F'▵-et írja le. A DEF▵ belsejében levő Y pontoknak megfelelő P pontok D'E'F'▵ belsejében lesznek. Minden egyes P ponthoz tartozó Z pontok egy olyan sokszöget töltenek ki, mely ABC-nek az illető P pontra való tükrözésével keletkezik. Ha P-t D'-be helyezzük és végigvezetjük D'E'F'▵ kerületén, akkor a Z pontok egy olyan sokszöget töltenek ki, mely A'B'C'▵-nek D'E'F'▵ oldalaival párhuzamosan való elcsúsztatásával keletkezik.
A sokszögnek legfeljebb 6 oldala lehet és ez annyival redukálódhat, ahány párhuzamos oldal van a két eredeti háromszögben, de a redukálódás csak akkor következik be, ha az azonos körüljárással megbetűzött oldalak ellenkező irányúak.
A keletkezett sokszög kerülete egyenlő a két adott háromszög kerületének összegével, mert ABC▵ oldalai a tükrözés következtében sértetlenül kerültek a sokszög oldalaira, a DEF▵ oldalai pedig egyszer felére kicsinyítve kerültek a D'E'F'▵-re, aztán innen kétszeres nagyítással, tehát eredeti alakjukat visszanyerve, jutottak a sokszög kerületére.
 

A T pontokhoz ugyanúgy jutnánk, csak most az ABC▵-et kellene felére kicsinyíteni és a DEF▵-et tükrözni. A keletkező sokszög egybevágó lenne a Z pontok által meghatározott sokszöggel, csak a körüljárási irány fordított. Mindez a tükrözés természetéből folyik.
 

Kántor Sándor
 

II. megoldás. A feladatot visszavezethetjük a 204-re (II. évf. 269‐270. old). Rajzoljuk meg az X pont X' tükörképét az O pontra nézve. A feladat feltételeinek megfelelő Z-re OXZY paralelogramma. Másrészt ha X bejárja az ABC háromszöget, akkor X egy A1B1C1 háromszöget ír le, mely az ABC háromszög tükörképe az O pontra vonatkozóan. Így a felvetett kérdések helyett az A1B1C1 és DEF háromszögekre vonatkozóan a 204. feladat kérdéseit kell megoldani. Ezen az úton is a fönti eredményekhez jutunk.