Feladat: 276. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dávid P. ,  Dievald Emília ,  Főző Éva ,  Gergely A. ,  ifj. Csonka P. ,  Kálmán L. ,  Kántor S. ,  Lipák János ,  Oláh J. ,  Papp I. ,  Rasztovich Mária ,  Sajó J. ,  Turi I. ,  Vígh A. ,  Villányi O. ,  Zobor E. 
Füzet: 1951/november, 136 - 137. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/március: 276. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A derékszögű háromszög átfogója c, egyik befogóját jelöljük x-szel, a másikat (d-x)-szel.

 
 

A kérdéses hatszög területe három négyzetből és négy háromszögből tevődik össze. A négyzetek területének összege
c2+x2+(d-x)2.
A négy háromszög közül 1 és 2 egybevágóak, 3 területe egyenlő a III pontozott háromszög területével, 4-é pedig a IV területével. A III és IV háromszögek azonban az 1 háromszöggel egybevágók, úgyhogy az arab számokkal jelölt négy háromszög területe egyenlő, összegük tehát 412(d-x)x.
A hatszög területe tehát
T=c2+(d-x)2+x2+412(d-x)x=c2+d2,
egyenlő az átfogó négyzetének és a befogók összege négyzetének összegével.
 

Megoldotta: ifj. Csonka P., Dievald Emilia, Főző Éva, Gergely A., Kántor S., Oláh J., Papp I., Rasztovich Mária, Sajó J., Turi I., Vigh A.
A 3. és 4. háromszögek területét trigonometriai úton fejezte ki: Dávid P., Kálmán L., Villányi O., Zobor E.
 

II. megoldás: A hatszög területét az ábra szerint (vékony vonallal) téglalappá egészítettük ki és ezután a téglalap területéből kivonjuk a csúcsoknál levágott négy háromszög területét.
 
 

Marad a hatszög területére (ha a, b a befogók, c az átfogó)
t=(2a+b)(2b+a)-a2b2-ab2-2ab2-ab2==2a2+2b2+2ab=(a2+b2)+(a+b)2=c2+d2.



Lipák János