Kezdőlap


Feladat:	275. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dávid P. , Durst E. , Kálmán L. , Kántor S. , Kovács L. , Sajó J. , Seitz K. , Villányi O. , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1951/november, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Súlyvonal, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 275. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A háromszög súlyvonalai és oldalai között kell összefüggéseket keresnünk.

Alkalmazzuk a cosinus tételt az

A B D ▵

-re, majd az

A D C ▵

-re is (figyelembe véve, hogy

cos (180^{\circ} - δ) = - cos δ

)

\begin{matrix} c^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + s_{a}^{2} - a s_{a} cos δ, \\ b^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + s_{a}^{2} + a s_{a} cos δ . \end{matrix}

Adjuk össze a két egyenletet. Rendezés után

\begin{matrix} 4 s_{a}^{2} = 2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2} . \end{matrix}

Hasonlóképpen nyerhetjük a

\begin{matrix} 4 s_{b}^{2} = 2 (c^{2} + a^{2}) - b^{2}, 4 s_{c}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2} \end{matrix}

egyenleteket, végül ezek összeadása útján az

\begin{matrix} s_{a}^{2} + s_{b}^{2} + s_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \end{matrix}

állításunkat bizonyítottuk.
Megoldotta: David P., Durst E., Kálmán L., Kántor S., Névtelen.

(Kálmán L. a cosinus tételt az

A B D

és

A B C

háromszögekre alkalmazta, Kántor S. tükrözte az

A

pontot

D

-re, nyerte az

E

pontot, ezután az

A B C

és

A C E

háromszögekre alkalmazta a cosinus tételt. Így jutottak a fenti összefüggésekhez.)

II. megoldás:

A B D ▵

-re a cosinus tételt a következőképpen is felírhatjuk

\begin{matrix} s_{a}^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + c^{2} - a c cos β . \end{matrix}

Hasonlóan nyerhetjük az

\begin{matrix} s_{b}^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2} + a^{2} - b a cos γ, s_{c}^{2} = {(\frac{c}{2})}^{2} + b^{2} - c b cos α, \end{matrix}

egyenleteket és ezeket összeadva a következőt:

\begin{matrix} s_{a}^{2} + s_{b}^{2} + s_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + \\ + [\frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - a c cos β - b a cos γ - c b cos α] . \end{matrix}

Figyelembevéve, hogy

\begin{matrix} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} - a c cos β = \frac{b^{2} - c^{2} - a^{2}}{2}, - b a cos γ = \frac{c^{2} - a^{2} - b^{2}}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} - c b cos α = \frac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{2}; \end{matrix}

ezeket behelyettesítve a szögletes zárójelbe, kiderül, hogy a zárójelben levő kifejezések értéke: 0, az egyenlet megmaradt része pedig bizonyítandó tételünket adja.
Megoldotta: Kovács L., Villányi O., Zobor E.
Vektorszámítás alkalmazásával oldotta meg: Seitz K.
Koordináta geometria alkalmazásával oldotta meg: Sajó J., Zatykó L.