Kezdőlap


Feladat:	271. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dávid P. , Kántor Sándor
Füzet:	1951/november, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Prímszámok száma, Szabályos sokszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 271. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $p_{1} > p_{2}$ . Rajzoljuk meg a kör ugyanazon pontjából kiindulva a $p_{1}$ és $p_{2}$ oldalú szabályos sokszögeket. A $p_{1}$ oldalú sokszög megszerkesztésével tulajdonképpen a teljes szöget osztottuk fel $p_{1}$ részre és megszerkesztettük a

\begin{matrix} \frac{360^{\circ}}{p_{1}}, \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{p_{1}}, \frac{3 \cdot 360^{\circ}}{p_{1}}, \dots \end{matrix}

szögeket, ugyanígy a

p_{2}

oldalú sokszög szerkesztése a

\begin{matrix} \frac{360^{\circ}}{p_{2}}, \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{p_{2}}, \frac{3 \cdot 360^{\circ}}{p_{2}}, \dots \end{matrix}

szögeket szolgáltatja, míg a

p_{1} \cdot p_{2}

oldalú szabályos sokszög szerkesztése a

\frac{360^{\circ}}{p_{1} p_{2}}

szög szerkesztésével egyértelmű feladat.
A kérdés ezután így fogalmazható: kijelölhető-e a

p_{1}

oldalú sokszög valamelyik, pl.

a

-ik szögpontja és a

p_{2}

oldalú sokszög egyik, pl.

b

-ik szögpontja úgy, hogy e pontokat a kör középpontjával összekötve

\frac{360^{\circ}}{p_{1} p_{2}}

szög keletkezzék, azaz van-e olyan

a

és

b

egész érték, mely eleget tesz az

\begin{matrix} a \frac{360^{\circ}}{p_{1}} - b \frac{360^{\circ}}{p_{2}} = \frac{360^{\circ}}{p_{1} p_{2}}, \end{matrix}

illetőleg

\begin{matrix} p_{2} a - p_{1} b = 1 \end{matrix}

(1)

diophantosi egyenletnek?
Ha

p_{1}

és

p_{2}

nem relatív prímek, hanem

r

a közös osztójuk, tehát

\begin{matrix} p_{1} = r q_{1} és p_{2} = r q_{2} \end{matrix}

ahol a

q_{1}

és

q_{2}

hányadosok egészszámok, akkor az (1) egyenlet így írható

\begin{matrix} r (a q_{1} - b q_{2}) = 1, \end{matrix}

ez pedig ellentmondást fejez ki: az egység nem bontható fel két egytől különböző egész tényezőre. Eszerint a feladat megoldásának szükséges feltétele, hogy

p_{1}

és

p_{2}

relatív prímek legyenek.
Vizsgáljuk ezután az (1) egyenletet azzal a feltétellel, hogy

p_{1}

és

p_{2}

relatív prímek. Fejezzük ki belőle

a

-t:

\begin{matrix} a = \frac{1 + b p_{1}}{p_{2}}, \end{matrix}

(2)

és tegyük fel kérdésünket a következő formában:

b

-nek rendre más és más egész értékeket adva, elő fog-e fordulni, hogy valamelyik esetben

a

-ra is egész számot kapunk? Lapunk II. évfolyamának 5. számában a 244. oldal 3. és 4. bekezdésében¹ bebizonyítottuk, hogy

b

-nek 1-től

p_{2} - 1

-ig különböző egész értékeket adva, a

\frac{b p_{1}}{p_{2}}

osztásnál 1-től

p_{2} - 1

-ig minden maradék előfordul.

b

azon értékénél, amikor a maradék

(p_{2} - 1)

, tehát

b p_{1} = p_{2} q + (p_{2} - 1)

(ahol

q

hányados egész szám), a (2) egyenlet szerint

\begin{matrix} a = \frac{1 + p_{2} q + (p_{2} - 1)}{p_{2}} = q + 1. \end{matrix}

a

is egész szám lesz és az

a

és

b

számok meghatározásával feladatunkat meg is oldottuk.

Ha tehát

(p_{1}, p_{2}) = 1

, a feladat mindig megoldható és a mondottak szerint a tényleges megoldáshoz legfeljebb

(p_{2} - 1)

számú osztást kell elvégeznünk, ill. a kérdéses osztások maradékát megállapítanunk.

Kántor Sándor

Megoldotta: Dávid P.

¹Fried E.: A prímszámok számáról.