Kezdőlap


Feladat:	257. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/november, 129 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 257. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a ( $- 2, 0$ ) pont $F_{1}$ , az (1,0) pont $F_{2}$ , a görbe tetszőleges pontja $P (x, y)$ továbbá $P F_{1} = r_{1}$ , $P F_{2} = r_{2}$ .

P F_{1} F_{2}

háromszögben:

P F_{1} + P F_{2} \geq F_{1} F_{2} = 3

, vagyis

r_{1} + r_{2} \geq 3

, tehát

r_{1} + 2 r_{2} \geq 3 + r_{2}

;

továbbá:

\begin{matrix} r_{1} - r_{2} < 3, tehát r_{1} - 2 r_{2} < 3 - r_{2}, \\ r_{2} - r_{1} < 3, tehát 2 r_{2} - r_{1} < 3 + r_{2} . \end{matrix}

Mindezekből következik, hogy

r_{1} + 2 r_{2} - a = 0

, csak akkor lehet, ha

a > 3 + r_{2}

r_{1} - 2 r_{2} - a = 0

, vagy

2 r_{2} - r_{1} - a = 0

, csak akkor lehet, ha

a < 3 + r_{2}

. Az

(r_{1} + 2 r_{2} - a) (r_{1} - 2 r_{2} - a) \cdot (2 r_{2} - r_{1} - a)

szorzatban vagy az első, vagy a másik két tényező közül valamelyik lehet 0. Ha

P

pont rajta van a keresett görbén, és

a > 3 + r_{2}

, akkor fennáll, hogy

r_{1} + 2 r_{2} = a

, vagyis

r_{1} + 2 r_{2} - a = 0

. Megfordítva: ha a szorzat 0, és

a > 3 + r_{2}

akkor csakis

r_{1} + 2 r_{2} - a = 0

, vagyis

P

pont rajta van a keresett görbén.
Az

(r_{1} + 2 r_{2} - a) (r_{1} - 2 r_{2} - a) (2 r_{2} - r_{1} - a) = 0

egyenlet tehát a keresett görbe egyenlete, ha

a > 3 + r_{2}

. Az egyenlet szimmetrikusabbá tehető, ha megszorozzuk

(r_{1} + 2 r_{2} + a)

-val, amely nem lehet 0:

\begin{matrix} (r_{1} + 2 r_{2} - a) (r_{1} + 2 r_{2} + a) (r_{1} - 2 r_{2} - a) (2 r_{2} - r_{1} - a) = 0. \end{matrix}

Alkalmazva a két tag összegének és különbségének szorzatára vonatkozó azonosságot:

\begin{matrix} [{(r_{1} + 2 r_{2})}^{2} - a^{2}] [a^{2} - {(r_{1} - 2 r_{2})}^{2}] = 0, \\ (r_{1}^{2} + 4 r_{1} r_{2} + 4 r_{2}^{2} - a^{2}) (a^{2} - r_{1}^{2} + 4 r_{1} r_{2} - 4 r_{2}^{2}) = 0, \\ 16 r_{1}^{2} r_{2}^{2} - {(r_{1}^{2} + 4 r_{2}^{2} - a^{2})}^{2} = 0, \\ 16 r_{1}^{2} r_{2}^{2} - (r_{1}^{4} + 8 r_{1}^{2} r_{2}^{2} + 16 r_{2}^{4} - 2 r_{1}^{2} a^{2} - 8 r_{2}^{2} a^{2} + a^{4}) = 0, \\ - r_{1}^{4} + 8 r_{1}^{2} r_{2}^{2} - 16 r_{2}^{4} + 2 a^{2} (r_{1}^{2} + 4 r_{2}^{2}) - a^{4} = 0, \\ - {(r_{1}^{2} - 4 r_{2}^{2})}^{2} + 2 a^{2} (r_{1}^{2} + 4 r_{2}^{2}) - a^{4} = 0, \\ r_{1}^{2} = P F_{1}^{2} = {(x + 2)}^{2} + y^{2} és r_{2}^{2} = P F_{2}^{2} = {(x - 1)}^{2} + y^{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} r_{1}^{2} - 4 r_{2}^{2} = x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 4 x^{2} + 8 x - 4 - 4 y^{2} = \\ = - 3 (x^{2} + y^{2} - 4 x), \end{matrix}

és

\begin{matrix} r_{1}^{2} + 4 r_{2}^{2} = x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 4 + 4 y^{2} = \\ = 5 x^{2} + 5 y^{2} - 4 x + 8. \end{matrix}

Ezt a helyettesítést elvégezve:

\begin{matrix} - 9 {(x^{2} + y^{2} - 4 x)}^{2} + 2 a^{2} (5 x^{2} + 5 y^{2} - 4 x + 8) - a^{4} = 0, \\ 9 [{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 8 x (x^{2} + y^{2}) + 16 x^{2}] - 2 a^{2} (5 x^{2} + 5 y^{2} - 4 x + 8) + a^{4} = 0, \\ 9 {(x^{2} + y^{2})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) (72 x + 10 a^{2}) + 144 x^{2} + 8 a^{2} x - 16 a^{2} + a^{4} = 0, \\ 9 {(x^{2} + y^{2})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) (72 x + 10 a^{2}) + {(4 x + a^{2})}^{2} + 16 (8 x^{2} - a^{2}) = 0. \end{matrix}