Kezdőlap


Feladat:	255. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/november, 127 - 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számsorok, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 255. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Válasszunk egy akkora $k$ értéket, melyre $2^{2 k + 1} > n$ . Ekkor

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} \leq 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{{(2^{2 k + 1} - 1)}^{2}} . \end{matrix}

A fenti összeg tagjait csoportosítsuk a következőképpen:

\begin{matrix} 1 + (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}) + (\frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{7^{2}}) + \dots + \\ + (\frac{1}{2^{2 k}} + \frac{1}{{(2^{k} + 1)}^{2}} + \dots + \frac{1}{{(2^{2 k + 1} - 1)}^{2}}) . \end{matrix}

A csoportosítást úgy végezzük, hogy a

k

-adik zárójelben az első tag

\frac{1}{2^{2 k}}

alakú legyen. Akkor az

l

-edik zárójelbe

2^{l}

számú tag kerül, mert a

(2^{l} + 1)

-edik tag:

\frac{1}{{(2^{l} + 2^{l})}^{2}} = \frac{1}{2^{2 (l + 1)}}

a csoportosítás szerint az

(l + 1)

-edik zárójel első tagja lesz.

Jelöljük az első zárójelben álló tagok összegét

a_{1}

-el, az

l

-edikben állók összegét

a_{l}

-el. Az összeget akkor így írhatjuk:

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{{(2^{2 k + 1} - 1)}^{2}} = 1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} . \end{matrix}

(1)

Vizsgáljuk meg a

k

-adik zárójel értékét.

\begin{matrix} a_{k} = \frac{1}{2^{2 k}} + \frac{1}{{(2^{k} + 1)}^{2}} + \dots + \frac{1}{{(2^{k + 1} - 1)}^{2}} . \end{matrix}

A zárójelben álló összeg értéke növekszik, ha minden tag helyébe a nála nagyobb első tagot írjuk.

\begin{matrix} a_{k} < (\frac{1}{2^{2 k}} + \frac{1}{2^{2 k}} + \dots) = 2^{k} \cdot \frac{1}{2^{2 k}} = \frac{1}{2^{k}} . \end{matrix}

Így az

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{k}} \end{matrix}

(2)

geometriai sor megfelelő indexű tagjai rendre nagyobbak lesznek az (1) alatti összeg megfelelő tagjainál, tehát az (1) alatti összeg, vagyis az eredetileg megbecsülni kívánt összeg is kisebb ezen geometriai sor összegénél.

Mivel a (2) geometriai sor összege

\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{k}}{1 - \frac{1}{2}} < \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

, az állítást bebizonyítottuk.

II. megoldás. Nagyobbítjuk az összeget, ha az egyes törtek nevezőit csökkentjük. Írjunk

2^{2}

helyett

1 \cdot 2

-t,

3^{2}

helyett

2 \cdot 3

-at,

4^{2}

helyett

3 \cdot 4

-et, általában

k^{2}

helyett

(k - 1)

k

-t. Mivel

\frac{1}{k (k - 1)} = \frac{k - (k - 1)}{k (k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}

, így

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \\ + \frac{1}{(n - 1) n} = 1 + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + \\ + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n} < 2. \end{matrix}