Kezdőlap


Feladat:	250. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/augusztus, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Szabályos sokszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 250. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen egyelőre $P$ a sík tetszésszerinti pontja, a kör $O$ középpontjától mért távolsága $a$ , a kör sugara $r$ , a sokszög szomszédos csúcsai $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$ és legyen $P O A_{1} ∢ = α$ .
Ekkor $P O$ az $O A_{2}, O A_{3}, ..., O A_{n}$ sugarakkal rendre $α + \frac{2 π}{n}$ , $α + 2 \frac{2 π}{n}, ...$ , $α + (n - 1) \frac{2 π}{n}$ nagyságú szöget zár be ‐ így a cosinus-tételt felhasználva

\begin{matrix} P A_{1}^{2} = a^{2} + r^{2} - 2 a r cos α, \\ P A_{2}^{2} = a^{2} + r^{2} - 2 a r cos (α + \frac{2 π}{n}), \\ P A_{3}^{2} = a^{2} + r^{2} - 2 a r cos (α + 2 \frac{2 π}{n}), \\ P A_{n}^{2} = a^{2} + r^{2} - 2 a r cos (α + (n - 1) \frac{2 π}{n}), \end{matrix}

A 191. feladatban megmutattuk^{$^{*}$}, hogy

\begin{matrix} cos α + cos (φ + α) + cos (2 φ + α) + ... + cos ((n - 1) φ + α) = \\ = \frac{sin \frac{n φ}{2} cos [(n - 1) \frac{φ}{2} + α]}{sin \frac{φ}{2}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva nyerjük,hogy

\begin{matrix} P A_{1}^{2} + P A_{2}^{2} + P A_{3}^{2} + ... + P A_{n}^{2} = \\ = n (a^{2} + r^{2}) - 2 a r [cos α + cos (\frac{2 π}{n} + α) + ... + cos ((n - 1) \frac{2 π}{n} + α)] = \\ = n (a^{2} + r^{2}) - 2 a r sin n \frac{2 π}{2 n} \cdot \frac{cos [(n - 1) \frac{2 π}{2 n} + α]}{sin \frac{2 π}{2 n}} = n (a^{2} + r^{2}) . \end{matrix}

Azt kaptuk tehát, hogy ez az összeg csak a

P

pontnak a kör középpontjától vett távolságától függ. Ha

P

-t mozgatjuk a sokszög köré írt körön vagy bármely ezzel koncentrikus körön, akkor az összeg értéke nem változik.

^{$^{*}$}II. évf. 4. szám. 214‐217 old.