Kezdőlap


Feladat:	245. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csonka P. , Müller Z. , Villányi O.
Füzet:	1951/május, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Hossz, kerület, Terület, felszín, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 245. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az oldalak hosszát $x$ , $y$ , $z$ -vel. Pythagoras tétele szerint $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ . Innen

\begin{matrix} x^{2} = z^{2} - y^{2} = (z + y) (z - y) . \end{matrix}

(1)

A második feltétel szerint

2 (x + y + z) = x y

. Innen

\begin{matrix} 2 (y + z) = x (y - 2) . \end{matrix}

(2)

Ezt az (1) egyenlet kétszeresébe behelyettesítve

\begin{matrix} 2 x^{2} = 2 (y + z) (z - y) = x (y - 2) (z - y), \end{matrix}

és mivel a háromszög egyik oldala sem lehet

0

hosszúságú,

\begin{matrix} 2 x = (y - 2) (z - y) . \end{matrix}

Ezt (2) kétszeresébe helyettesítve

\begin{matrix} 4 (y + z) = {(y - 2)}^{2} (z - y) . \end{matrix}

A baloldalt átalakítjuk

\begin{matrix} 4 (y + z) = 8 y + 4 (z - y) . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} 8 y = (z - y) [{(y - 2)}^{2} - 4] = y (y - 4) (z - y), \end{matrix}

és mivel

\begin{matrix} y \neq 0, (z - y) (y - 4) = 8. \end{matrix}

Mivel

y

és

z

egész számok, csak

\begin{matrix} z - y = 8, y - 4 = 1; z - y = 2, y - 4 = 4 \end{matrix}

és

\begin{matrix} z - y = 4, y - 4 = 2 \end{matrix}

lehetséges. Ezekből

x

y

z

-re sorra

5

12

13

12

5

13

;

6

8

10

és

8

6

10

adódik.