Kezdőlap


Feladat:	242. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koródy Gy. , Villányi O.
Füzet:	1951/május, 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 242. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bontsuk szét az egyes tényezőket $n$ -től független és $n$ -től függő tényezőkre.

\begin{matrix} 2^{2 n + 1} = 2^{2 n} \cdot 2 = 4^{n} \cdot 2, \\ 3^{n + 2} = 3^{n} \cdot 3^{2} = 3^{n} \cdot 9, \\ 5^{2 n + 1} = 25^{n} \cdot 5, \\ 2^{n + 1} = 2^{n} \cdot 2. \end{matrix}

Ezeket behelyettesítve a megadott kifejezésbe

20 \cdot 25^{n} \cdot 2^{n} + 18 \cdot 4^{n} \cdot 3^{n}

kifejezést nyerjük. Ezt kell úgy alakítanunk, hogy a

19

-es tényező szerepe kitűnjön.

\begin{matrix} 20 \cdot 50^{n} + 18 \cdot 12^{n} = (19 + 1) \cdot 50^{n} + (19 - 1) \cdot 12^{n} = \\ = 19 \cdot 50^{n} + 19 \cdot 12^{n} + 50^{n} - 12^{n} . \end{matrix}

Az első két tagból kiemelhető a

19

-es szorzó, viszont a harmadik és negyedik tag különbsége szorzattá alakítható:

\begin{matrix} 50^{n} - 12^{n} = (50 - 12) (50^{n - 1} + 50^{n - 2} \cdot 12 + ... + 12^{n - 1}) \\ 50 - 12 = 2 \cdot 19. \end{matrix}

Tehát a keresett kifejezés

\begin{matrix} 5^{2 n + 1} \cdot 2^{n + 2} + 3^{n + 2} \cdot 2^{2 n + 1} = 19 (50^{n} + 12^{n} + 50^{n - 1} + 50^{n - 2} \cdot 12 + ... + 12^{n - 1}) . \end{matrix}

Ezzel bebizonyítottuk, hogy a kifejezés

19

-cel osztható.