Feladat: 241. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1951/május, 34 - 35. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1950/október: 241. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyettesítsük a z-t a (3) egyenletből az (1) és (2) egyenletbe és rendezzük x és y szerint:

(1-ac)x-(b+bc)y=0,(4)(a+ac)x-(1-bc)y=0.(5)
E két egyenlet nem határozza meg egyértelműen x-et és y-t, csak az arányukat, de általában két különböző értéket ad. x=y=0 ebben az esetben is megoldás (ekkor természetesen z is 0). Egyéb megoldás akkor van, ha a két egyenlet ugyanazt az eredményt adja x és y arányára. Szorozzuk az első egyenletet (a+ac)-vel, a másodikat (1-ac)-vel:
(1-ac)(a+ac)x-(a+ac)(b+bc)y=0,(1-ac)(a+ac)x-(1-ac)(1-bc)y=0.
Itt már y együtthatóinak is meg kell egyezniük, hogy legyen 0-tól különböző megoldás, kell tehát, hogy
(a+ac)(b+bc)=(1-ac)(1-bc)(6)
legyen.
Ha viszont ez a feltétel teljesül, akkor pl. x-et tetszőlegesen választhatjuk. A (4) vagy (5) egyenletből kiszámítjuk y-t és a (3) egyenletből z-t. (Ha a (4) vagy (5) egyenletek valamelyikében baloldalon is minden tag kiesik, akkor a másikból számítjuk y-t, ha mindkét egyenletben 0 áll a baloldalon is, akkor y-t is tetszőlegesen választjuk.)
A változók ilyen választása mellett (1) és (2) is teljesül, ami azonnal következik, ha z-nek, amit a (3) egyenletből számítottunk ki, a c-szeresét levonjuk a (4) és (5) egyenletből.
Így az egyenletrendszernek akkor és csak akkor vannak 0-tól különböző gyökei, ha teljesül a (6) egyenlet, ami ilyen alakba írható:
2abc+ab+bc+ca-1=0.