Kezdőlap


Feladat:	240. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koródy Gy. , Villányi O.
Füzet:	1951/május, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 240. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk végig az egyenletet $\sqrt[^{5}]{2}$ -vel.
Ekkor

\begin{matrix} \sqrt[^{5}]{\frac{x + 1}{2}} - \sqrt[^{5}]{\frac{x - 1}{2}} = 1. \end{matrix}

Vezessünk be új változókat, ezáltal az irracionális egyenletet racionális egyenletrendszerré alakítjuk át:

\begin{matrix} \sqrt[^{5}]{\frac{x + 1}{2}} = u \sqrt[^{5}]{\frac{x - 1}{2}} = v . \end{matrix}

Ekkor a feltétel szerint

u - v = 1

és minthogy az alapok különbsége

1

, tehát

u^{5} - v^{5} = 1

. Az első egyenlet mindkét oldalát

5

-ik hatványra emelve keletkező

{(u - v)}^{5} = 1

egyenlet baloldalát

u

és

v

hatványai szerint kifejtve

\begin{matrix} u^{5} - 5 u^{4} v + 10 u^{3} v^{2} - 10 u^{2} v^{3} + 5 u v^{4} - v^{5} = 1. \end{matrix}

Vagyis a második egyenlet felhasználásával

\begin{matrix} - 5 u v (u^{3} - 2 u^{2} v + 2 u v^{2} - v^{3}) = 0, \\ - 5 u v (u - v) (u^{2} - u v + v^{2}) = 0. \end{matrix}

Minthogy a feltétel szerint

u - v \neq 0

, tehát ez a szorzat akkor

0

, ha

\begin{matrix} vagy u = 0, azaz x = - 1, \\ vagy v = 0, azaz x = 1, \end{matrix}

vagy felhasználva, hogy első egyenletünk szerint

u = 1 + v

; ha

\begin{matrix} u^{2} - u v + v^{2} = {(1 + v)}^{2} - (1 + v) v + v^{2} = 1 + v + v^{2} = 0. \end{matrix}

Az utóbbi egyenlet megoldása

\begin{matrix} v = - \frac{1}{2} \pm \frac{i \sqrt[]{3}}{2} = \frac{x - 1}{2} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x = \pm i \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Tekintetbe véve, hogy a gyökvonás a komplex számok körében többértékű, az ötödik gyökök alkalmas értékeit véve ez az

x

érték is lehet megoldás.