Kezdőlap


Feladat:	239. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/május, 32 - 33. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 239. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adjuk össze a két polinomot, az összeg

\begin{matrix} n (x - 1) (x^{n} - 1) . \end{matrix}

(3)

Vonjuk le a (2) polinom

n (x - 1)

-szeresét (3)-ból, akkor

n^{2} {(x - 1)}^{2}

-t nyerünk. Tehát közös tényező csak

{(x - 1)}^{2}

lehet. Viszont ez valóban közös tényező, mert (1) így írható

\begin{matrix} n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1 = (x - 1) [n x^{n} - (1 + x + x^{2} + ... + x^{n - 1}] = \\ = (x - 1) [(x^{n} - 1) + (x^{n} - x) + (x^{n} - x^{2}) + ... + (x^{n} - x^{n - 1})], \end{matrix}

(2) pedig

\begin{matrix} x^{n} - n x + n - 1 = (x - 1) [1 + x + x^{2} + ... + x^{n - 1} - n] = \\ = (x - 1) [(x - 1) + (x^{2} - 1) + ... + (x^{n - 1} - 1)] . \end{matrix}

Azonban a szögletes zárjelben lévő mindkét kifejezésről nyilvánvaló, hogy kiemelhető belőle

(x - 1)

, ha

n \geq 2

. Ha viszont

n = 1

, akkor (2) azonosan

0

, vagyis

0 \cdot {(x - 1)}^{2}

, (1) pedig éppen

{(x - 1)}^{2}