Kezdőlap


Feladat:	238. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csonka Pál , Csurgay Á. , Kovács Márta , Szathury Éva
Füzet:	1951/május, 31 - 32. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 238. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}, \end{matrix}

közös nevezőre hozva

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3} + {(c - a)}^{3}}{(a - b) (b - c) (c - a)}, \end{matrix}

a kéttagú kifejezés köbét többtagúvá alakítva és az összevonást elvégezve a tört

\begin{matrix} \frac{- 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - 3 b^{2} c + 3 b c^{2} - 3 a c^{2} + 3 a^{2} c}{a^{2} b + a^{2} c - a c^{2} - b^{2} c + b^{2} a + b^{2} c} = \\ = 3 \frac{- a^{2} b + a b^{2} - b^{2} c + b c^{2} - a c^{2} + a^{2} c}{- a^{2} b + a b^{2} - b^{2} c + b c^{2} - a c^{2} + a^{2} c} = 3. \end{matrix}

Csonka Pál (II. oszt.)

II. megoldás: A közös nevezőre való hozás után ne szorozzunk be a nevezőben és a számlálóban se bontsuk fel a zárójeleket, hanem a számlálót alakítsuk szorzattá, mert ez teszi lehetővé az egyszerűsítést.

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)} = \\ = \frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3} + {(c - a)}^{3}}{(b - c) (c - a) (a - b)} . \end{matrix}

Az első két tag köbének összegét szorzattá alakítjuk:

\begin{matrix} \frac{[(a - b) + (b - c)] [{(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2}] + {(c - a)}^{3}}{(b - c) (c - a) (a - b)}, \end{matrix}

összevonva és

(c - a)

-t kiemelve

\begin{matrix} \frac{- (c - a) [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} - {(c - a)}^{2} - (a - b) (b - c)]}{(b - c) (c - a) (a - b)}, \end{matrix}

a két négyzet különbségét szorzattá alakítva

\begin{matrix} \frac{- (c - a) [{(a - b)}^{2} - (a - b) (b + a - 2 c) - (a - b) (b - c)]}{(b - c) (c - a) (a - b)} = \\ = \frac{(c - a) (a - b) [- (a - b) + (b + a - 2 c) + (b - c)]}{(b - c) (c - a) (a - b)} = \\ = \frac{(c - a) (a - b) (3 b - 3 c)}{(b - a) (c - a) (a - b)} = \frac{3 (c - a) (a - b) (b - c)}{(b - c) (c - a) (a - b)} = 3. \end{matrix}

III. megoldás: Az előző megoldásnál, miután a két köb összegéből kiemeltük az alapok összegét, láttuk, hogy a számláló osztható

(c - a)

-val. Azonban anélkül, hogy az előbbi számolást végigvinnénk, rögtön következtethetünk, hogy szimmetria okokból

(b - c)

és

(a - b)

-vel is osztható a számláló. Minthogy azonban a számláló harmadfokú kifejezés, ebből már következik, hogy a nevezőtől csak egy

a

b

és

c

-től független állandó szorzóban különbözhet. Ekkor azonban nyilván a tört értéke is ez az állandó. Az állandó értékét a legegyszerűbben úgy kaphatjuk meg, ha

a

b

és

c

helyébe alkalmas számokat helyettesítünk.
Legyen

a = 1

b = 0

c = - 1

. Ekkor

\begin{matrix} a - b = 1, b - c = 1, c - a = - 2 \\ \frac{1^{3} + 1^{3} + {(- 2)}^{3}}{1 \cdot 1 \cdot (- 2)} = \frac{- 6}{- 2} = 3. \end{matrix}

IV. megoldás: Jelöljük

a - b

-t

α

-val,

b - c

-t

β

-val,

c - a

-t

γ

-val.
Minthogy

α + β + γ = 0

γ = - (α + β)

.
Ezeket az eredeti tört kifejezésbe helyettesítve

\begin{matrix} \frac{α^{2}}{β γ} + \frac{β^{2}}{γ α} + \frac{γ^{2}}{α β} = \frac{α^{3} + β^{3} + γ^{3}}{α β γ} = \frac{α^{3} + β^{3} - {(α + β)}^{3}}{α β γ} = \\ = \frac{- 3 α^{2} β - 3 α β^{2}}{- α β (α + β)} = \frac{3 (- α β) (α + β)}{- α β (α + β)} = 3. \end{matrix}