Kezdőlap


Feladat:	236. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csurgay Á. , Koródy Gy. , Zobor E.
Füzet:	1951/május, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 236. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} \sqrt[]{c^{2} + d^{2}} = \sqrt[]{{(a c)}^{2} + {(b d)}^{2} + 2 a b c d + {(a d)}^{2} + {(b c)}^{2} - 2 a b c d} . \end{matrix}

(Egy tagot pozitív és negatív jellel beiktatva két teljes négyzetet alakítottunk.)

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} \sqrt[]{c^{2} + d^{2}} = \sqrt[]{{(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2}} \geq \sqrt[]{{(a c + b d)}^{2}} = \\ = a c + b d . \end{matrix}

Ezzel a kívánt egyenlőtlenséget bizonyítottuk. Egyenlőség akkor áll fenn, ha

a d = b c

, azaz

a / c = b / d

, vagyis ha az

a

b

és

c

d

számpárok arányosak.

II. megoldás: Tekintsük egy derékszögű koordinátarendszerben azon

P

és

Q

pontokat, amelyeknek koordinátái

(a, b)

illetve

(c, d)

számpárok.

P

pontnak az origótól való távolsága

r_{1}

Q

ponté

r_{2}

; e távolságok a vízszintes tengellyel

φ_{1}

és

φ_{2}

nagyságú szöget zárnak be.
A rajzból látható:

\begin{matrix} a = r_{1} cos φ_{1}; b = r_{1} sin φ_{1}; c = r_{2} cos φ_{2}; d = r_{2} sin φ_{2}; \\ \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} = r_{1} és \sqrt[]{c^{2} + d^{2}} = r_{2} . \end{matrix}

Az igazolandó egyenlőtlenség

\begin{matrix} r_{1} r_{2} \geq r_{1} r_{2} cos φ_{1} cos φ_{2} + r_{1} r_{2} sin φ_{1} sin φ_{2} \end{matrix}

alakba megy át. A jobboldal azonban átalakítható,

\begin{matrix} r_{1} r_{2} \geq r_{1} r_{2} cos (φ_{1} - φ_{2}) \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 1 \geq cos (φ_{1} - φ_{2}) . \end{matrix}

Ez azonban mindig fennáll. Tehát a következtetést visszafelé olvasva, a kiinduló egyenlőtlenség is igaz. Egyenlőség akkor következik be, ha

φ_{1} - φ_{2} = 0

III. megoldás: Rajzoljuk fel egy derékszögű koordinátarendszerben a

P (a, - b)

és a

Q (c, d)

koordinátájú pontokat.

O P R Q

paralelogramma területét, (mint az

O P Q Δ

-ének a kétszeresét) a koordinátageometriában tanultak szerint az

a d + b c

kifejezés adja.
A paralelogramma oldalai

\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

, illetve

\sqrt[]{c^{2} + d^{2}}

hosszúak.
A paralelogramma területe azonban kisebb, vagy egyenlő, mint a két szomszédos oldalának szorzata, azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} \sqrt[]{c^{2} + d^{2}} \geq a d + b c . \end{matrix}

Egyenlőség akkor következik be, ha az

O P

egyenes merőleges az

O Q

egyenesre.

Megjegyzés: A geometriai bizonyításokban a négyzetgyökjelet pozitív előjellel vettük tekintetbe. Természetesen akkor is igaz az állítás, ha mindkét gyököt negatív előjellel vesszük. Nem egyező előjel esetén nem igaz az állítás.