Kezdőlap


Feladat:	234. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	László Z. , Villányi O.
Füzet:	1951/május, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb rendű számtani sorozat, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 234. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat két egymás utáni tagja: $a_{n}$ , $a_{n + 1}$ . A differenciasorozatban az ezeknek megfelelő két tag: $a_{n + 1} - a_{n}$ és $a_{n + 2} - a_{n + 1}$ . A feltétel szerint a sorozat bármely 2 tagjának a hányadosa megegyezik a differenciasorozat ugyanolyan indexű tagjainak hányadosával tehát:

\begin{matrix} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n + 2} - a_{n + 1}}{a_{n + 1} - a_{n}} . \end{matrix}

Ebből:

\begin{matrix} a_{n - 1}^{2} - a_{n} a_{n + 1} = a_{n + 2} a_{n} - a_{n} a_{n + 1} . \end{matrix}

Ez az egyenlőség összevonás után így alakul:

\begin{matrix} a_{n + 1}^{2} = a_{n} a_{n + 2}, \end{matrix}

tehát a sorozat bármelyik tagja mértani közepe az őt közvetlenül megelőző és a közvetlenül utána következő tagoknak. Ebből

\begin{matrix} \frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} . \end{matrix}

Ez a mértani sorozatra jellemző.
Tehát: a mértani sorozat differenciasorozata olyan mértani sorozat, amelynek hányadosa egyenlő az eredeti sorozat hányadosával.