Kezdőlap


Feladat:	233. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	László Z. , Villányi O.
Füzet:	1951/május, 24 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 233. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Írjuk az összeget a következő alakba:

\begin{matrix} S_{n} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & + 1 \cdot 4 + ... + 1 (n - 1) + 1 n + \\ + 2 \cdot 3 & + 2 \cdot 4 + ... + 2 (n - 1) + 2 n + \\ + 3 \cdot 4 + ... + 3 (n - 1) + 3 n + \\ + (n - 1) n . \end{matrix}

A tagokat oszloponként összegezzük

\begin{matrix} s_{1} = 0 \\ s_{2} = 1 \cdot 2 = 2 \\ s_{3} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = (1 + 2) 3 = 9 \\ s_{4} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = (1 + 2 + 3) 4 = 24 \\ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... \\ s_{n} = (1 + 2 + 3 + ... + n - 1) n . \end{matrix}

Azaz

\begin{matrix} S_{n} = 0 + 1 \cdot 2 + (1 + 2) 3 + ... + \frac{(n - 1) n^{2}}{2} . \end{matrix}

Minthogy az

n

-edik tag harmadfokú polinom kifejezés

n

-re nézve, ez harmadrendű számtani sorozat. (Ez a sorozat harmadik differenciasorának képzésével is könnyen igazolható.)
Feladatunk tehát a (10) formula alapján megoldható, ha meghatározzuk

s_{n} = α_{1} + α_{2} (\binom{n - 1}{1}) + α_{3} (\binom{n - 1}{2}) α_{4} (\binom{n - 1}{3})

előállításában az

α_{1}

α_{2}

α_{3}

α_{4}

konstansokat. Sorra

n = 1

, 2, 3, 4-et téve adódik

α_{1} = 0

α_{2} = 2

a_{3} = 5

a_{4} = 3

, tehát

\begin{matrix} S_{n} = 2 (\binom{n}{2}) + 5 (\binom{n}{3}) + 3 (\binom{n}{4}) . \end{matrix}

II. megoldás: Az előbbi módon átrendezett sorozatot egészítsük ki a következőképpen:

\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + ... + 1 (n - 1) + 1 n + \\ 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + ... + 2 (n - 1) + 2 n + \\ ... \\ n \cdot 1 + n \cdot 2 + n \cdot 3 + n \cdot 4 + ... + n (n - 1) + n \cdot n . \end{matrix}

Látjuk, hogy az egyik átlóban az első

n

négyzetszám helyezkedik el, ettől jobbra az eredeti sorozat elemei, balra ugyanezek az elemek helyezkednek el. Minthogy az egész kifejezés összege

{(\binom{n + 1}{2})}^{2}

, ha a négyzetszámok összegét ebből levonjuk, a keresett összeg kétszeresét nyerjük. A négyzetszámok összege

\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

tehát

\begin{matrix} 2 S_{n} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} - \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . \end{matrix}

n (n + 1)

-et kiemelve

\begin{matrix} S_{n} & = n (n + 1) [\frac{n (n + 1)}{8} - \frac{2 n + 1}{12}] = n (n + 1) [\frac{3 n (n + 1) - 4 n - 2}{24}] = \\ = n (n + 1) & [\frac{3 n^{2} + 3 n - 4 n - 2}{24}] = \frac{n (n + 1) (n - 1) (3 n + 2)}{24} . \end{matrix}

III. megoldás: Jelöljük az első

n

szám négyzetének összegét

S_{n}^{2}

, köbének összegét

S_{n}^{3}

-el.
Tekintsük most ismét a sorozatnak a legelső megoldásban felhasznált átalakított formáját. Ebben a

(k - 1)

-edik oszlopban álló tagok összege

k (\binom{k}{2}) = \frac{1}{2} (k^{3} - k^{2})

, ezt kell összegezni

k = 2, 3, ..., n

-re, azaz ‐ mivel

k = 1

-re

0

-t ad ‐ összegezhetjük

1

-től

n

-ig. Így kapjuk, hogy

S_{n} = \frac{1}{2} (S_{n}^{3} - S_{n}^{2})

.
Egészítsük ki most a sorozatot ugyanúgy, mint az előző megoldásnál.

\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + ... + 1 \cdot n \\ 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 2 \cdot n \\ ⋮ \\ n \cdot 1 + n \cdot 2 + n \cdot 3 + ... + n \cdot n \end{matrix}

Most nézzük meg, mi az a többlet, ami a

k

-adik sorhoz hozzájárult. Eredetileg volt:

\begin{matrix} k (k + 1) + k (k + 2) + ... + k n \end{matrix}

az új sor

\begin{matrix} k \cdot 1 + k \cdot 2 + ... k \cdot k + k \cdot (k + 1) + ... + k \cdot n \end{matrix}

a többlet

\begin{matrix} k (1 + 2 + ... + k) = k (\binom{k + 1}{2}) = \frac{k^{3} + k^{2}}{2} . \end{matrix}

Ezt összegezve

k = 1, ... n

-re kapjuk

\frac{1}{2} (S_{n}^{3} + S_{n}^{2})

-et. Ezt kell levonnunk az egész összegből, hogy

S_{n}

-et megkapjuk.

\begin{matrix} S_{n} = {(\binom{n + 1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} (S_{n}^{3} + S_{n}^{2}), \end{matrix}

de mint már az előbb beláttuk,

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1}{2} (S_{n}^{3} - S_{n}^{2}) . \end{matrix}

A két egyenletet összeadva és 2-vel osztva kapjuk:

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1}{2} [{(\binom{n + 1}{2})}^{2} - S_{n}^{2}] = \frac{1}{2} [{(\binom{n + 1}{2})}^{2} - \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}], \end{matrix}

amit az előbbi módon szorzatalakra hozhatunk.
Ennek a megoldásnak, bár hosszadalmasabb, mint az előbbi, érdekessége, hogy megadja az első

n

szám köbének összegét. Ha a fenti két egyenletet nem összeadjuk, hanem egyikből a másikat kivonjuk, kapjuk:

\begin{matrix} S_{n}^{3} = {(\binom{n + 1}{2})}^{2} . \end{matrix}

Ugyanezt megkaphatnánk úgy is, ha az első egyenletet az I. megoldás kiinduló egyenletével hasonlítanánk össze.