Kezdőlap


Feladat:	232. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zatykó L.
Füzet:	1951/május, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb rendű számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 232. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megállapíthatjuk, hogy az összegezendő kifejezés tagjai 3-ad rendű számtani haladványt adnak. Ugyanis

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 & 18 & 48 & 100 & 180 & ... \\ 14 & 30 & 52 & 80 & ... \\ 16 & 22 & 28 & ... \\ 6 & 6... \end{matrix} \end{matrix}

Ezért lényegében a 231. feladattal azonos esettel állunk szemben, azonban most (10)-ből

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

-et kell megállapítani.

\begin{matrix} 4 & = α_{1}, \\ 18 & = 4 + α_{2}, α_{2} = 14, \\ 48 & = 4 + 14 (\binom{2}{1}) + α_{3}, α_{3} = 16, \\ 100 & = 4 + 14 (\binom{3}{1}) + 16 (\binom{3}{2}) + α_{4}, α_{4} = 6, \end{matrix}

tehát (10) alapján (az ott

S_{n + 1}

jelölt értéknek felel itt meg

S_{n}

)

\begin{matrix} S_{n} = 4 n + 14 (\binom{n}{2}) + 16 (\binom{n}{3}) + 6 (\binom{n}{4}) = \\ = \frac{n}{24} {96 + 168 n - 168 + 64 (n^{2} - 3 n + 2) + 6 (n^{3} - 6 n^{2} + 11 n - 6)} = \\ = \frac{n}{12} {3 n^{3} + 14 n^{2} + 21 n + 10} = \frac{n (n + 1) (n + 2) (3 n + 5)}{12} . \end{matrix}

n = 1, 2, 3, 4

, akkor

4

22

70

170

sorozatot adja, ez az a sorozat, amely a

4

18

48

100

sorozat összegezése folytán keletkezik.