Kezdőlap


Feladat:	231. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	László Z. , Villányi Ottó , Zatykó L.
Füzet:	1951/május, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Magasabb rendű számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 231. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A magasabb rendű számtani sorozatokról szóló cikk (10) formulája megadja egy tetszőleges rendű számtani sorozat összegét (4. szám 190. old.). Az $1, 3, 6, 10, ...$ háromszögszám-sorozat másodrendű számtani haladvány, összegének meghatározásában csupán a (10)-ben szereplő $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ megállapítása a feladat.

\begin{matrix} α_{n}^{(2)} = α_{1} + α_{2} (\binom{n - 1}{1}) + α_{3} (\binom{n - 1}{2}) -ből \\ α_{1} = 1, \\ α_{1} + α_{2} = 1 + α_{2} = 3, α_{2} = 2, \\ α_{1} + (\binom{2}{1}) α_{2} + α_{3} = 5 + α_{3} = 6, α_{3} = 1. \end{matrix}

Ha tehát az első

n

háromszögszám összegét

S_{n + 1}

jelöli, akkor

\begin{matrix} S_{n + 1} = 1 (\binom{n}{1}) + 2 (\binom{n}{2}) + 1 (\binom{n}{3}) = n + \frac{2 n (n - 1)}{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} . \end{matrix}

Ha itt

n = 1, 2, 3, 4, ...

-t helyettesítjük, az

1, 4, 10, 20, ...

sorozatot nyerjük, amely valóban egyezik a háromszögszámok összeadása révén nyert sorozattal.

Villányi Ottó (III. oszt. Szentendre)