Kezdőlap


Feladat:	230. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/május, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Magasabb rendű számtani sorozat, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 230. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk,¹ hogy $S_{1} = g_{1} = (\binom{1 + 2}{3}) = 1 = (\binom{1 + 3}{4})$ , azaz az $S_{k} = (\binom{k + 3}{4})$ formula a $k = 1$ értékre igaz. Érvényességét bármely $k$ -ra teljes indukcióval bizonyítjuk.
Feltesszük, hogy

\begin{matrix} S_{k - 1} = (\binom{k - 1 + 3}{4}), \end{matrix}

s ha innen következik, hogy a tétel érvényes

S_{k}

-ra is, akkor igazoltuk minden

k

-ra. Adjunk az előbbi egyenlőség mindkét oldalához

g_{k}

-t.

\begin{matrix} S_{k} = S_{k - 1} + g_{k} = (\binom{k - 1 + 3}{4}) + g_{k} = (\binom{k - 1 + 3}{4}) + (\binom{k + 2}{3}) = \\ = (\binom{k + 2}{4}) + (\binom{k + 2}{3}) . \end{matrix}

A binomiális együtthatókat kifejtve

\begin{matrix} S_{k} = \frac{(k + 2) (k + 1) (k - 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{(k + 2) (k + 1) k}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \\ = \frac{(k + 2) (k + 1) k (k - 1 + 4)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{(k + 3) (k + 2) (k + 1) k}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = (\binom{k + 3}{4}) . \end{matrix}

Ezzel a tételt igazoltuk.

¹Lásd a magasabb rendű számtani sorozatról szóló cikket. Közelebbről 4. sz. 182. oldalt.