Feladat:	229. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/május, 20 - 21. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/október: 229. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A 226. feladat megoldása szerint az ellenparalelogramma átlói párhuzamosak és a nem metsző oldalakkal együtt szimmetrikus trapézt alkotnak. A 228. feladatban bizonyítottak szerint az átlókkal párhuzamosan metsző egyenes $O$, $P$, $P\text{'}$, $Q$ metszéspontjai az ellenparalelogramma oldalaival minden helyzetben egy az átlókkal párhuzamos egyenesen maradnak. Ennek folytán (az ábra jelöléseit használva) minden helyzetben $AOP\Delta \sim ADB\Delta$ és $OP\text{'}D\Delta \sim ACD\Delta$. Ezekből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle OP:AO=DB:AD\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}OP\text{'}:OD=AC:AD\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle OP=\frac{AO}{AD}\cdot DB\mathrm{,}OP\text{'}=\frac{OD}{AD}\cdot AC\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle OP\cdot OP\text{'}=\frac{AO\cdot OD}{{AD}^2}AC\cdot DB\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a tört értéke nem változik a berendezés mozgatásával, csak azt kell megmutatnunk, hogy $AC\cdot DB$ értéke sem változik meg. A szorzatot átalakíthatjuk két négyzet különbségévé: $\begin{array}{c}{\displaystyle AC\cdot DB={\left(\frac{AC+DB}{2}\right)}^2-{\left(\frac{AC-DB}{2}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A zárójelben szereplő kifejezéseket a rajzon is könnyen feltüntethetjük: bocsássunk $B$-ből merőlegest $AC$-re. Legyen talppontja $E$.     $ACBD$ szimmetrikus trapéz voltából adódik, hogy $AE=\frac{AC+DB}{2}$, $EC=\frac{AC-EB}{2}$. Az $AEB$ és $BEC$ derékszögű háromszögekből $A{E}^2=A{B}^2-B{E}^2$ és $E{C}^2=B{C}^2-B{E}^2$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle AC\cdot DB=A{E}^2-E{C}^2=A{B}^2-B{C}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezeket felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle OP\cdot OP\text{'}=\frac{AO\cdot OD}{A{D}^2}\left(A{B}^2-B{C}^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel itt csak olyan távolságok szerepelnek, melyek az ellenparalelogramma szárain kijelölt határozott távolságok, így ez a kifejezés nem változik az ellenparalelogramma mozgatásakor. Ha $O$ pontot rögzítve mozgatjuk az ellenparalelogrammát, akkor az elmondottak szerint $O$, $P$ és $P\text{'}$ mindig egy egyenesbe fognak esni és $OP\cdot OP\text{'}$ értéke nem változik, $P$ és $P\text{'}$ tehát egymás inverzei egy $O$ középpontú körre nézve, vagyis a készülék inverzorként használható.