Kezdőlap


Feladat:	223. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/március, 283 - 284. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 223. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Bármely az adott tulajdonsággal bíró $P$ ponton átmenő két húr, az egyik pl. a $k_{1}$ kör $A_{1} B_{1}$ húrja, a másik a $k_{2}$ kör $A_{2} B_{2}$ húrja, ‐ olyan, hogy

\begin{matrix} P A_{1} \cdot {P B}_{1} = P A_{2} \cdot {P B}_{2} . \end{matrix}

(1)

Azt kell vizsgálnunk tehát, hogy ez az egyenlőség mely pontokra igaz. Mivel a

k_{1}

és

k_{2}

körnek a

P

pontra illeszkedő bármely két húrját tekinthetjük, célszerű lesz azt a közös húrt venni, amely a körök egyik metszéspontján, a

B

ponton megy át. Írjuk át az (1) feltételt erre a húrra:

\begin{matrix} P A \cdot P B = P B \cdot P C \end{matrix}

és

P B

-vel osszunk, ekkor a

\begin{matrix} P A = P C \end{matrix}

(2)

egyszerű feltételt kapjuk. Eszerint azt kell megvizsgálnunk, mi a mértani helye a két kör közös pontján átmenő

A C

húrok felezéspontjainak. Bebizonyítjuk, hogy ez az a kör, melynek középpontja a két kör

O_{1} O_{2}

centrálisának

O

felezéspontja és átmegy az adott körök közös pontjain.

A C

szakasz két húr összege,

A B

darabja a

k_{1}

kör húrja, jelöljük ennek felét

h_{1}

-gyel,

B C

pedig a

k_{2}

kör húrja, ennek felét

h_{2}

-vel jelöljük. Bocsássunk az

O_{1}

O_{2}

és

O

pontokból

A C

-re merőleges egyeneseket, ezek talppontjait jelöljük rendre

T_{1}

T_{2}

és

T

-vel, utóbbi felezi a

T_{1} T_{2}

szakaszt.

Másrészt

T_{1} B = h_{1}

, a rajz szerint ezenkívül (2) szerint

P C = A C / 2 = h_{1} + h_{2}

és így

P T_{2} = h_{1}

is fennáll. Eszerint

T_{1} B = T_{2} P

, tehát a

T

-vel felezett

T_{1} T_{2}

szakasz másik két darabja is egyenlő:

B T = P T

, a

B T O

és

P T O

derékszögű háromszögek egybevágók s így

O B = O P

, amivel állításunkat bebizonyítottuk.

Ez a megoldás lényegesen kihasználta, hogy a két kör metszi egymást. A kívánt tulajdonságú pontok azonban léteznek és ugyancsak kört alkotnak, bizonyos feltételek esetén akkor is, amikor a körök nem metszik egymást.

II. megoldás. Legyen a két kör

k_{1}

és

k_{2}

középpontjuk

O_{1}

és

O_{2}

, sugaruk

r_{1}

és

r_{2}

; egy kívánt tulajdonságú pont

P

, mely legyen a

k_{1}

kör belsejében és

k_{2}

-n kívül.

k_{1}

-re vonatkozó hatvány értékét az

O_{1} P

-re merőleges sugár felének a négyzete adja, a

k_{2}

-re vonatkozót pedig a

P

-ből húzott érintő négyzete. E fél húrnak és érintőnek kell tehát egyenlő hosszúnak lennie. A húr egyik végpontját

A_{1}

-gyel, az egyik érintő érintési pontját pedig

A_{2}

-vel jelölve Pythagoras tétele szerint

\begin{matrix} r_{1}^{2} = O_{1} P^{2} + P A_{1}^{2}, és r_{2}^{2} = O_{2} P^{2} - P A_{2}^{2} . \end{matrix}

A kettő összegéből

P A_{1} = P A_{2}

folytán

\begin{matrix} r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = O_{1} P^{2} + O_{2} P^{2} . \end{matrix}

A baloldal értéke független

P

-től, tehát a jobboldalé is. Az

O_{1} O_{2} P

háromszögben tehát két oldal négyzetösszege és a harmadik oldal állandó, független a

P

pont helyzetétől. Ezekből az adatokból kiszámítható azonban a

P

-ből húzható súlyvonal hossza is. Ha az

O_{1} O_{2}

oldal felezőpontját

O

-val jelöljük,^{$^{*}$}

\begin{matrix} O P^{2} = \frac{1}{2} (O_{1} P^{2} + O_{2} P^{2}) - O_{1} O^{2} = \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{2} - O_{1} O^{2} . \end{matrix}

Ilyen

P

pontok tehát akkor léteznek, ha

\begin{matrix} O_{1} O_{2} = 2 O_{1} O \leq 2 \sqrt[]{\frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{2}} = \sqrt[]{2 (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})}, \end{matrix}

és ebben az esetben egy

O

középpontú körön feküsznek.
Mivel

\begin{matrix} \sqrt[]{2 (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})} = \sqrt[]{(r_{1}^{2} + 2 r_{1} r_{2} + r_{2}^{2}) + (r_{1}^{2} - 2 r_{1} r_{2} + r_{2}^{2})} = \\ = \sqrt[]{{(r_{1} + r_{2})}^{2} + {(r_{1} - r_{2})}^{2}} > r_{1} + r_{2}, ha r_{1} \neq r_{2}; \end{matrix}

tehát ilyen pontok nem metsző körök esetén is lehetnek, ha azok elég közel vannak egymáshoz.

^{$^{*}$}A

P

-ből

O_{1} O_{2}

-re bocsátott merőleges hosszát

a

-val, talppontjának távolságát

O

-tól

b

-vel jelölve, ha a talppont

O

-tól

O_{1}

felé esik,

O P^{2} = a^{2} + b^{2}, O_{1} P^{2} = a^{2} + {(O_{1} O - b)}^{2}, O_{2} P^{2} = a^{2} + {(O_{2} O + b)}^{2} = a^{2} + {(O_{1} O + b)}^{2}

,s így

O_{1} P^{2} + O_{2} P^{2} = 2 (O_{1} O^{2} + a^{2} + b^{2}) = 2 O_{1} O^{2} + 2 O P^{2}

, amiből következik a fenti egyenlőség.