Feladat: 222. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Főző Éva 
Füzet: 1951/március, 282. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt kör, Beírt kör középpontja, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1950/május: 222. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az AB adott távolság fölé rajzolható háromszögek harmadik, C csúcsa a síkon bárhol lehet. Vegyünk fel tetszőlegesen e pontok közül egyet, a hozzá tartozó háromszög beírható körének középpontja az (egy ívvel jelölt) B∢ szögfelezőjén lesz.

 
 

Ha a C pont végigfut a BC egyenesen, a beírt kör középpontja végigfut a szögfelező vastagított BP szakaszán. E szakasz P végpontja nyilván ama ,,háromszög'' beírt körének középpontja, melynek C csúcspontja a BC egyenesen kifutott a végtelenbe (jelöljük C∞-nel). E háromszög két oldala párhuzamos a BC egyenessel, beírható körének középpontja tehát a vastagon jelölt A∢ szögfelezőjén van. Miután pedig A∢ és B∢ összege 180∘, szögfelezőik közös pontjából, P-ből az AB távolság derékszög alatt látszik. Forgassuk ezután a BC egyenest B pontja körül. Egy teljes kürülforgás alatt e félegyenesek pontjai végigseprik az egész síkot, ugyanekkor a hozzájuk tartozó, B pontból kiinduló szögfelezők egy fél körülforgást végeznek és beírt körök középpontjai a szögfelezők ama szakaszait írják le, melyek végpontjaiból az AB távolság derékszög alatt látszik. E végpontok mértani helye az AB, mint átmérő fölé rajzolt kör, úgyhogy az AB fölé írható háromszögek beírható körei középpontjainak mértani helye e körlap belseje.