Kezdőlap


Feladat:	221. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Villányi O.
Füzet:	1951/március, 281 - 282. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 221. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először is az $A$ csúcsot $B C$ -vel párhuzamosan addig toljuk el, míg a háromszög $C$ -nél fekvő szöge $60^{\circ}$ -os lesz. Jelöljük a csúcs új helyzetét $A_{1}$ -gyel. A további átalakításnál a $60^{\circ}$ -os szögnek nem szabad megváltoznia, ezért az $A_{1}$ csúcs a $C A_{1}$ oldalon a $B$ csúcs a $C B$ oldalon mozoghat, jelöljük a szabályossá alakított háromszög új csúcsait $A^{*}$ , $B^{*}$ -gal.

A szabályosság követelménye, hogy

\begin{matrix} C A^{*} = C B^{*} \end{matrix}

(1)

legyen. Az átalakításnál a háromszög területének sem szabad megváltoznia, ezt a követelményt legcélszerűbben úgy írhatjuk fel, hogy a régi és az új háromszög területét egyaránt a közös szöggel és ezzel szomszédos oldalakkal fejezzük ki:

\begin{matrix} C A_{1} \cdot C B sin 60^{\circ} = C A^{*} \cdot {C B}^{*} sin 60^{\circ} \end{matrix}

Ez az egyenlet (1) figyelembevételével ilyen alakot ölt:

\begin{matrix} C A_{1} \cdot C B = C A^{* 2}, \end{matrix}

tehát a keresett szabályos háromszög oldala mértani középarányos az első lépésben átalakított

A_{1} B C

háromszögnek a

60^{\circ}

-os szöget bezáró két oldala,

C A_{1}

és

C B

között, eszerint az ismert módon megszerkeszthető.

Több nem lényegesen különböző megoldást küldött: Villányi O.

Megjegyzés: Lényegében ugyanígy oldhatjuk meg ennek a feladatnak a következő általánosítását: Adva van két háromszög,

A B C

és

D E F

. Szerkesszünk

D E F

-hez hasonló,

A B C

háromszög területével egyenlő területű háromszöget!
A szerkesztésnek egy szemléletesebb indokolásával szerepel a feladat a II. gimnáziumos tankönyvben.