Kezdőlap


Feladat:	220. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Müller Z.
Füzet:	1951/március, 280 - 281. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Egyenes körkúpok, Térfogat, Folyadékhozam, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 220. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az emelkedés sebessége a magasságnak az idő szerinti differenciálhányadosa. Hogy ezt meghatározhassuk, ismernünk kell, hogyan függ az edényben levő víz magassága az időtől. A $t$ idő alatt az edénybe ömlik $v t$ liter víz. Ez a vízmennyiség $m$ magasságig tölti meg a kúpot. Ebben a magasságban a keresztmetszet sugara $ϱ$ . Ezért a vízkúp térfogata $\frac{ϱ^{2} π m}{3}$ . A vízkúp mindenkori sugarának és magasságának hányadosa állandó. $\frac{ϱ}{m} = \frac{1}{2, 4}$

\begin{matrix} Ezért \frac{1, 2. t}{10^{3}} = \frac{ϱ^{2} π m}{3} = \frac{m^{3} π}{2, 4^{2} 3}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{m^{3}}{3} = \frac{1, 2 \cdot 2, 4^{2} t}{10^{3} π} . \end{matrix}

Ha mindkét oldalt

t

szerint differenciáljuk, akkor

\begin{matrix} \frac{3 m^{2}}{3} \frac{d m}{d t} = \frac{1, 2 \cdot 2, 4^{2} \cdot 3}{10^{3} π} . \end{matrix}

egyenletből

\begin{matrix} \frac{d m}{d t} = \frac{1, 2 \cdot 2, 4^{2}}{10^{3} π m^{2}} . \end{matrix}

A kúp félmagasságában

\frac{2, 4}{m} = \frac{2, 4}{1, 2} = 2

\begin{matrix} \frac{d m}{d t} = \frac{1, 2}{π \cdot 10^{3}} \cdot 4 \sim 1, 528 mm/sec \end{matrix}

Megjegyzés: Látható, hogy a kúp magasságát felesleges volt megadnunk. Az emelkedés sebessége csak attól függ, mekkora a félmagasságban a vízfelszín területe.