Kezdőlap


Feladat:	219. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/március, 279 - 280. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 219. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ezt a feladatot visszavezetjük a 217-es feladathoz hasonló feladatra.
Legyen $k$ egy tetszés szerinti nagy rögzített pozitív szám. Helyettesítsünk $u$ helyébe $2^{x}$ -et, akkor

\begin{matrix} 2^{2^{x}} > 2^{k x} . \end{matrix}

Ez az egyenlőtlenség teljesül, ha

2^{x} > k x

k

felírható, mint

2

-nek valamilyen hatványa, vagyis

2^{x} > 2^{c} x

egyenlőtlenséget kell vizsgálnunk. Legyen

x = 2^{t + 1}

. Ekkor a következő egyenlőtlenséget kapjuk

\begin{matrix} 2^{2^{t + 1}} > 2^{c} \cdot 2^{t + 1} = 2^{c + t + 1} \end{matrix}

Ismét a kitevőket vizsgálva

\begin{matrix} 2^{t + 1} > c + t + 1 -nek kell teljesülnie. \end{matrix}

A baloldal átalakítható, mert

2^{t + 1} = 2^{t} + 2^{t}

\begin{matrix} 2^{t} + 2^{t} > c + t + 1 \end{matrix}

2^{t} > t

Tehát a feltétel teljesül, ha

2^{t} > c + 1

vagyis

t > \frac{log (c + 1)}{log 2}

Visszahelyettesítve

x = 2^{t + 1} > 2^{\frac{log (c + 1)}{log 2} + 1} = 2^{\frac{log [2 (c + 1)]}{log^{2}}}

és

u = 2^{x} > 2^{2^{\frac{log [2 (c + 1)]}{log 2}}}

ahol

c = \frac{log k}{log 2}

Megjegyzés. Ez a becslés nem a pontos korlátot adja, hanem a

217

esetében

k = 100

így

c = \frac{2}{log 2} > 7

x > 2^{\frac{log 16}{log 2}} = 2^{4} = 16

. Viszont már láttuk, hogy

u \geq 10

-től is igaz a keresett egyenlőtlenség.