Kezdőlap


Feladat:	214. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Főző Éva , Müller Z. , Villányi O.
Füzet:	1951/március, 276 - 277. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 214. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a$ egynél nagyobb pozitív szám, akkor $\frac{a + \frac{1}{a}}{2}, \frac{a - \frac{1}{a}}{2}, a \frac{1}{a} = 1$ számok közül az $\frac{a + \frac{1}{a}}{2}$ a legnagyobb.
Ahhoz, bogy ezek a számok egy derékszögű háromszög oldalai legyenek, kell, hogy közöttük fennálljon a pythagorasi összefüggés, vagyis

\begin{matrix} {(\frac{a + \frac{1}{a}}{2})}^{2} - {(\frac{a - \frac{1}{a}}{2})}^{2} = 1, \end{matrix}

Ez viszont az

\begin{matrix} {(\frac{a + \frac{1}{a}}{2})}^{2} - {(\frac{a - \frac{1}{a}}{2})}^{2} = (\frac{a + \frac{1}{a}}{2} + \frac{a - \frac{1}{a}}{2}) \cdot (\frac{a + \frac{1}{a}}{2} - \frac{a - \frac{1}{a}}{2}) = a \cdot \frac{1}{a} = 1 \end{matrix}

azonosság miatt mindig teljesül. Ha

a

egynél kisebb, akkor az

\frac{\frac{1}{a} + a}{2}, \frac{\frac{1}{a} - a}{2}

, és

1

számok alkotnak pythagorasi számhármast.