Kezdőlap


Feladat:	211. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Villányi O.
Füzet:	1951/március, 275 - 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 211. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A törtek összevonása után a jobboldal

\begin{matrix} \frac{(a + b) x - (a q + b p)}{x^{2} - (p + q) x + p q} \end{matrix}

alakú. A törtet

6

-tal bővítve a jobboldal

\begin{matrix} \frac{6 (a + b) x - 6 (a q + b p)}{6 x^{2} - 6 (p + q) x + 6 p q} \end{matrix}

lesz. Minthogy a nevezőben az

x^{2}

együtthatója mindkét oldalon

6

, a kívánt azonosság csak akkor állhat fenn, ha a két tört számlálója és nevezője azonos. Vagyis ha

\begin{matrix} 6 x + 1 = 6 (a + b) x - 6 (a q + b p) \end{matrix}

és

\begin{matrix} 6 x^{2} + 19 x + 15 = 6 x^{2} - 6 (p + q) + 6 p q . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

x

megfelelő hatványainak együtthatói egyenlők, azaz

\begin{matrix} a + b = 1 (1), a q + b p = \frac{1}{6} (2), p + q = - \frac{19}{6} (3), p q = \frac{5}{2} . (4) \end{matrix}

(3)

és

(4)

-ből következik, hogy

p

és

q

a következő másodfokú egyenletnek két gyöke

\begin{matrix} u^{2} + \frac{19}{6} u + \frac{5}{2} = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} p = - \frac{3}{4}, q = - \frac{5}{3} . \end{matrix}

(ha

p

-t és

q

-t felcseréljük, akkor csak az

a

és

b

számára adódó értékek cserélődnek meg, tehát a keresett megoldás két tagja. Így nem kapunk lényegesen különböző megoldást.)

\begin{matrix} p és q értékeit a (2) egyenletbe behelyettesítve \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{5 a}{3} - \frac{3 b}{2} = - \frac{1}{6} azaz 10 a + 9 b = 1. \end{matrix}

Ebből és az (1) egyenletből

a = - 8

b = 9

.
Így a keresett megoldás:

\begin{matrix} \frac{6 x + 1}{6 x^{2} + 19 x + 15} = \frac{- 8}{x + \frac{3}{2}} + \frac{9}{x + \frac{5}{3}} = \frac{27}{3 x + 5} - \frac{16}{2 x + 3} . \end{matrix}