Kezdőlap


Feladat:	210. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/március, 274 - 275. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lefedések, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 210. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1. ábra szerint $8$ négyzetet lehet a kívánt módon az adott négyzethez hozzáilleszteni.

Jelöljük az adott négyzet oldalának hosszát

2 a

-val és rajzoljunk köréje egy másik négyzetet, melynek oldalai vele párhuzamosan, tőle

a

távolságban haladnak, e négyzet kerülete

16 a

. (2. ábra.) Vizsgáljuk meg, hogy az adott négyzethez különféleképpen hozzáilleszthető négyzetek mennyit fednek le a nagy négyzet kerületéből.
Az 1. négyzet a rajz szerint

2 a + x

-et fed le.
A 2. négyzet által lefedett szakasz

y + z

. Tekintve, hogy

a

mértani középarányos

y

és

z

között és ismeretes, hogy ez nem lehet nagyobb számtani közepüknél,

\begin{matrix} \frac{y + z}{2} \geq a . \end{matrix}

A 3. négyzet a kerületből

2 a

-nál hosszabb szakaszt fed le, a 4. négyzet pedig éppen

2 a

hosszúságot, ami a vonalkázott háromszögek egybevágásából nyilvánvaló.
Végül az 5. négyzet a 4.-nél, így

2 a

-nál is hosszabb részt takar.
Bárhogyan is helyezzük el tehát az adott négyzettel érintkező többit, a nagy négyzet kerületéből mindenkor legalább

2 a

hosszúságú darabot takarnak el. Mivel pedig a hozzáillesztett négyzeteknek nem szabad egymásba nyúlni, így legfeljebb nyolc, a feltételnek megfelelő négyzet a nagy négyzet teljes kerületét lefedi, ennél több tehát nem illeszthető az adott négyzethez.