Kezdőlap


Feladat:	206. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	László Z.
Füzet:	1951/március, 270 - 271. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlypont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 206. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a hatszög csúcspontjai $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ . Az $A_{i} A_{k}$ oldal felezőpontja $F_{i k}$ . Az $A_{3} A_{6}$ átló felezési pontja $F_{36}$ .

Tekintsük az

A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

négyszöget. Ebben az

F_{34} F_{56}

és

F_{45} F_{36}

oldalfelező egyenesek egymást egy

D

pontban metszik. Ez a

D

pont az

F_{34} F_{56}

és

F_{45} F_{36}

szakaszt is felezi. Az

F_{12} D

tehát az

F_{12} F_{34} F_{56}

háromszög egyik súlyvonala. Másrészt ez a vonal az

F_{12} F_{36} F_{45}

háromszögnek is súlyvonala (feltéve, hogy ezek a pontok nem esnek egy egyenesbe). Ebből következik, hogy a két háromszögnek közös a súlypontja is. Hasonló gondolatmenettel mutathatjuk meg, ‐ hogy az

F_{23} F_{61}

felezőpontját

E

-vel jelölve ‐ az

F_{12} F_{36} F_{45}

háromszögnek és az

F_{23} F_{45} F_{61}

háromszögnek közös a súlypontja (feltéve, hogy

F_{12} F_{36} F_{45}

nem fekszenek egy egyenesen).
Minthogy az

F_{12} F_{36} F_{45}

háromszög súlypontja egybeesik mindkét háromszög súlyvonalával, kell, hogy az

F_{12} F_{34} F_{56}

és

F_{23} F_{45} F_{61}

háromszögek súlypontja egybeessék.
Ha az

F_{12} F_{36} F_{45}

pontok egy egyenesbe esnek és ugyanaz a helyzet bármely más megfelelő ponthármasra nézve is, úgy ez azt jelenti, hogy

F_{12} F_{45}

-ön és vele együtt

F_{13} F_{56}

-on és

F_{34} F_{61}

-en mind a két háromszögnek nyugszik egy-egy közös súlyvonala, tehát ezek egy pontban a két háromszög közös súlypontjában metszik egymást.