Feladat: 204. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1951/március, 268 - 269. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ponthalmazok, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1950/május: 204. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen az OZ és XY egyenesek metszéspontja P. Ez esetben, mivel OP=12OZ, a P pontok által lefedett idom a Z pontok által kitöltött idomhoz hasonló és O centrumra nézve hasonló helyzetű, oldalai feleakkorák. Ezt tudva elegendő lesz a P pontok által lefedett idomot tanulmányozni.
A P pontokat úgy kapjuk, hogy az ABC és DEF háromszögek egy-egy belső, vagy kerületi pontjának összekötő egyenesét megfelezzük. Ha pl. Y pont összeesik D-vel és X az ABC▵ tetszőleges pontja, a P pontok az A'B'C'▵-et fedik le.

 
 

Ha Y-t végigvisszük a DE oldalon, eközben az A'B'C'▵ párhuzamosan eltolódik az A''B''C''▵-be, ha Y-t tovább visszük az EF oldalon F-ig, az A''B''C''▵ eltolódik A'''B'''C'''▵-be, végül, ha X-t az FD oldalon visszavisszük D pontig, az A'''B'''C'''▵ ismét párhuzamosan tolódik el A'B'C'▵-be.
Eszerint a DEF▵ minden Yi kerületi pontjához tartozik a P pontoknak egy AiBiCi háromszöge, ha pedig Yi-t a DEF▵ belsejében futó tetszőleges egyenesszakaszon visszük végig a kerület egy másik Yk pontjáig, az AiBiCi▵ önmagával párhuzamosan az Yk-hoz tartozó AkBkCk▵-be tolódik el. Így a DEF▵ minden belső Yl pontjához a P pontoknak egy olyan AlBlCl▵-e tartozik, mely az A'C'C'''B'''B''A'' hatszög belsejébe esik.
b) A szerkesztés szerint a P pontok egy hatszöget födnek be. Az oldalak száma annyival redukálódhat, ahány párhuzamos oldala van az ABC és DEF háromszögeknek. A redukálódás csak akkor következik be, ha az azonos körüljárással megbetűzött háromszögek párhuzamos oldalai egyenlő irányúak is.
c) A szerkesztés szerint a P pontok által lefedett hatszög kerülete olyan szakaszokból tevődik össze, melyek mindegyike fele az ABC és DEF háromszögek egy-egy oldalának, így e hatszög kerülete is fele a két háromszög kerülete összegének. A Z pontok által lefedett hatszög oldalai, mint megállapítottuk, az előbbinek kétszeresei, tehát kerülete éppen a két háromszög kerületének összege.
Kiegészítésképpen vizsgáljuk meg az OXYZ és OYXZ paralelogrammák Z pontjai által lefedett idomokat is. (Lásd a 278. kitűzött feladatot. 288 old.).