Kezdőlap


Feladat:	202. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	László Z.
Füzet:	1951/március, 264 - 265. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körök, Görbék fonalas szerkesztése, Ellipszis, mint mértani hely, Hiperbola, mint mértani hely, Apollóniusz-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 202. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a körök sugarát $r_{1}$ , $r_{2}$ -vel, $P$ -nek a középpontoktól való távolságát $R_{1}$ , $R_{2}$ -vel. Ha $P$ a $K_{1}$ körön kívül van, akkor $R_{1} = r_{1} + d_{1}$ , ha belül van, $R_{1} = r_{1} - d_{1}$ . Hasonló érvényes a második körre. Jelöljük a körtől való távolságok hányadosát $λ$ -val: $d_{1} : d_{2} = λ$ , azaz $d_{1} - λ d_{2} = 0$ . A $d$ -ket $r$ -ekkel és $R$ -ekkel kifejezve, ha $P$ mindkét körön kívül van, akkor azt kapjuk, hogy $R_{1} - λ R_{2} - (r_{1} - λ r_{2}) = 0$ kell legyen. Ha $r_{1} - λ r_{2} = 0$ , azaz $r_{1} : r_{2} = λ$ , akkor ez éppen az Apollonius-féle körre vezető mértani hely feladat: $R_{1} : R_{2} = λ$ állandó. Ennek az összefüggésnek kell teljesülnie akkor is, ha a két kör metszi egymást és a $P$ pont mind kettő belsejében van. Ha a pont egyik körön belül van, a másikon kívül, akkor a feltételből az $R_{1} + λ R_{2} - (r_{1} + λ r_{2}) = 0$ feltétel adódik.
Írjuk fel az adott feltételi egyenlettel rendelkező görbék egyenletét. Mivel $R_{1}$ -et és $R_{2}$ -t négyzetgyökös kifejezések adják, célszerű lesz az összefüggéseket úgy alakítani, hogy $R$ -ek csak páros hatványon szerepeljenek. Ezt két alkalmasan végzett négyzetre emeléssel elérhetjük, hasonlóan, mint a hiperbola és parabola egyenleténél:

\begin{matrix} R_{1} - λ R_{2} = r_{1} - λ r_{2} = A, ill. R_{1} + λ R_{2} = r_{1} + λ r_{2} = B \end{matrix}

Négyzetre emelve:

\begin{matrix} R_{1}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2} - 2 λ R_{1} R_{2} = A^{2}, ill. R_{1}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2} + 2 λ R_{1} R_{2} = B^{2}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} - 2 λ R_{1} R_{2} = A^{2} - (R_{1}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2}), ill. 2 λ R_{1} R_{2} = B^{2} - (R_{1}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2}) . \end{matrix}

Ismét négyzetre emelve

\begin{matrix} 4 λ^{2} R_{1}^{2} R_{2}^{2} = A^{4} - 2 A^{2} (R_{1}^{2} + λ^{2} R_{1}^{2}) + {(R_{2}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2})}^{2}, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} 4 λ^{2} R_{1}^{2} R_{2}^{2} = B^{4} - 2 B^{2} (R_{1}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2}) + {(R_{2}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2})}^{2} . \end{matrix}

A baloldalt a jobboldal utolsó tagjából levonva és az oldalakat felcserélve:

\begin{matrix} A^{4} - 2 A^{2} (R_{1}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2}) + {(R_{1}^{2} - λ^{2} R_{2}^{2})}^{2} = 0, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} B^{4} - 2 B^{2} (R_{1}^{2} + λ^{2} R_{2}^{2}) + {(R_{1}^{2} - λ^{2} R_{1}^{2})}^{2} = 0. \end{matrix}

Bárhogy is választjuk itt a koordinátarendszert, az utolsó tag általában negyedfokú kifejezést ad

x

-ben és

y

-ban. Ez csak akkor csökken másodfokúra, ha

λ = 1

, amit a cikkel kapcsolatos 2. feladatban részletesen tárgyaltunk (195‐196. lap), vagy az említett

A = 0

esetben. A görbék egyenlete még alkalmas koordinátarendszerben sem túl egyszerű és főleg nem ad további tájékoztatást a görbék alakjáról, így felírásuktól eltekintünk. A kérdéses mértani hely általában e két negyedrendű görbéből állhat.
Az említett

λ = 1

esetben éppen egy ellipszis és egy hiperbola egyenletét kapjuk, a régebbi eredménnyel megegyezően.