Kezdőlap


Feladat:	201. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/március, 263 - 264. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbék fonalas szerkesztése, Ellipszis, mint mértani hely, Hiperbola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 201. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a pont $F_{1}$ , a kör középpontja $F_{2}$ , sugara $r$ , az adott távolságösszeg $k$ , a geometriai hely egy pontja $P$ , távolsága $F_{1}$ -től $r_{1}$ , a körtől $r_{2}$ .
Ha a pont a körön kívül van, akkor $P F_{2} = r_{2} + r$ s így $P F_{1} + P F_{2} = r_{1} + r_{2} + r = k + r$ . Ezek a pontok tehát ellipszisen feküsznek. Ha $k$ nagyobb, mint $F_{1} F_{2} + r$ , akkor az ellipszis tartalmazza a kört s így az ellipszis minden pontja kielégíti a feltételt és más pontok nem.
Ha azonban $k < F_{1} F_{2} + r$ , akkor az ellipszisnek csak a körön kívüli része tartozik a mértani helyhez. A körön belül fekvő pontokra $P F_{2} = r - r_{2}$ s így $P F_{1} - P F_{2} = r_{1} + r_{2} - r = k - r$ . Az ilyen pontok tehát egy hiperbolaíven fekszenek, melynek ugyanazok a fókuszai mint az ellipsziséi. A teljes mértani hely tehát egy csatlakozó hiperbola és ellipszis ívből áll ebben az esetben.