Kezdőlap


Feladat:	198. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/március, 261 - 262. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 198. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $k$ e főkör. Ennek kerületén a gömbhöz fektetett érintők egy hengerpalástot adnak. Legyen ennek a $k$ egy $P$ pontján átmenő alkotója a $P Q_{1}$ egyenes, ahol $Q_{1}$ a $δ$ sík és az alkotó metszése. Az $E$ -hez tartozó érintősík messe $P Q_{1}$ -et $Q$ pontban. $P$ képe $δ$ -n legyen $P'$ . Húzzunk $E$ -n át $Q Q_{1}$ -gyel párhuzamost, ez messe $δ$ -t $E_{1}$ -ben. (A $P'$ , $Q_{1}$ , $E_{1}$ pontok nyilván $δ$ egy egyenesén vannak).

Világos, hogy

Q P = Q E

, mint egyazon pontból a

G

gömbhöz húzott érintők. Továbbá:

Q_{1} P = Q_{1} P'

, a sztereografikus projekciónak a cikkben igazolt érintőtartása miatt. Továbbá:

E_{1} Q_{1} = E Q

és

Q_{1} Q = E_{1} E

mint az

E Q Q_{1} E_{1}

paralelogramma szemközti oldalai. Azaz:

\begin{matrix} E_{1} P' = E_{1} Q_{1} + Q_{1} P' = E Q + Q_{1} P' = Q P + Q_{1} P = E_{1} E = állandó, \end{matrix}

hiszen az

E_{1} E

távolság két párhuzamos fix sík közti adott irányú szakasz, tehát független attól, hogy

P

k

mely pontja. Így

k

képe

δ

-n egy

E_{1}

centrumú és

E_{1} E

sugarú kör. (Ha

k

E

-n átmegy, akkor képe

δ

-n egyenes).