Kezdőlap


Feladat:	195. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/március, 259 - 260. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/május: 195. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $D$ -vel az $E$ ponton átmenő és az $A B$ oldalt $B$ -ben, illetve az $A C$ oldalt $C$ -ben érintő körök metszéspontját. Legyen $E$ a $B C$ oldal belső pontja, ekkor $D$ a $B C$ oldal ellenkező oldalára esik, mint $A$ .

Mivel a húr és érintő alkotta szög is kerületi szögnek tekinthető, így

\begin{matrix} A B E ∢ = B D E ∢ és A C E ∢ = C D E ∢ . \end{matrix}

Ezek alapján és a háromszög belső szögei közti összefüggést felhasználva

\begin{matrix} B D C ∢ = B D E ∢ + E D C ∢ = A B E ∢ + A C E ∢ = 180^{\circ} - B A C ∢ . \end{matrix}

Ez azonban éppen azt jelenti, hogy

D

rajta fekszik az

A B C

háromszög köré írt körnek a

B

és

C

közti,

A

-t nem tartalmazó ívén is és ezt kellett bizonyítani.
Teljesen hasonló a bizonyítás akkor is, ha

E

B C

oldal meghosszabbításán fekszik, csak akkor a

B

-nél és

C

-nél fekvő szögek közül az egyik helyébe a külső szög kerül,

D

-ből pedig két szög különbsége alatt látszik

B C