Feladat: 192. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1950/október, 218. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Fizikai jellegű feladatok, Terület, felszín, Vektorok lineáris kombinációi, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1950/március: 192. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy a forgatónyomaték értékét az erőnek és karjának szorzataként számíthatjuk ki. Ezt az értéket szemlélteti annak a paralelogrammának a területe, melynek két szomszédos oldala a forgási középponttól az erő támadási pontjáig vezető szakasz és az erő vektora. A forgáspontból a támadási pontig menve és onnan az erő irányában haladva tovább egyszer az óramutató járásával egyező, másszor ezzel ellenkező irányban kell fordulnunk, ekkor a két értéket ellenkező előjellel kell számítani. (Vegyük utóbbi esetben pozitívnak, az előbbiben negatívnak.)

 
 

A terület ílymódon előjellel vett értéke nem változik, ha az erő vektorát a rajta átmenő, egyenes mentén eltoljuk, éppúgy, mint a forgatónyomaték sem. Így először is elérhetjük, ha az erők nem párhuzamosak, hogy a két paralelogrammának egyik oldala közös legyen, ha az erőket úgy toljuk el saját irányukban, hogy közös támadáspontjuk a két erő irányának C metszéspontja legyen. A forgáspontot jelöljük T-vel, az erőket p1 és p2-vel. Ha a területeket össze akarjuk adni, akkor még kívánatos az egyik paralelogrammát, pl. a p1-hez tartozót párhuzamosan eltolni úgy, hogy p1 kezdőpontja p2 végpontjába kerüljön. Ekkor a két paralelogrammának újra lesz egy közös oldala, a két paralelogramma közös csúcsba futó oldalai pedig épp a két erő vektora. Így a közös oldalt saját irányában eltolva olyan paralelogrammává alakíthatjuk a két paralelogrammából összeillesztett idomot, melynek területe nem változott és amely a két erő eredőjének forgatónyomatékát szemlélteti.
Könnyen látható, hogy ezzel az eljárással ellenkező előjelű forgatónyomatékok esetén a területeknek is a különbségét képeztük, mégpedig a nagyobb területű téglalapéval megegyező előjellel. Ezzel igazoltuk állításunkat nem párhuzamos erők esetére. Párhuzamos erőknél ez az eljárás nem alkalmas.