Kezdőlap


Feladat:	190. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/október, 212 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/március: 190. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás: Elég a kifejezést pozitív értékekre vizsgálni, mert ha $x < 0$ , akkor $k \sqrt[]{x^{2} + a^{2}} - x > k \sqrt[]{a^{2} + x^{2}} - | x | = k \sqrt[]{a^{2} + {| x |}^{2}} - | x |$ , ez pedig a kifejezés értéke az $| x |$ helyen. Legyen tehát $x > 0$ és jelöljük $l$ -lel a $k \sqrt[]{a^{2} + x^{2}} - x$ kifejezés legkisebb értékét, ami biztosan pozitív. Ekkor

\begin{matrix} k \sqrt[]{a^{2} + x^{2}} \geq x + l > 0 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} k^{2} a^{2} + k^{2} x^{2} \geq x^{2} + 2 l x + l^{2} \\ (k^{2} - 1) x^{2} - 2 l x + k^{2} a^{2} - l^{2} \geq 0 \end{matrix}

és

k^{2} - 1 > 0

folytán oszthatunk

k^{2} - 1

-gyel

\begin{matrix} x^{2} - 2 \frac{l}{k^{2} - 1} x + \frac{a^{2} k^{2} - l^{2}}{k^{2} - 1} = {(x - \frac{l}{k^{2} - 1})}^{2} + \frac{(a^{2} k^{2} - l^{2}) (k^{2} - 1) - l^{2}}{{(k^{2} - 1)}^{2}} \geq 0. & (1) \end{matrix}

Mivel itt

l

a függvény legkisebb elért értéke, ez csak úgy lehet, ha

\begin{matrix} (a^{2} k^{2} - l^{2}) (k^{2} - 1) - l^{2} = k^{2} (a^{2} k^{2} - l^{2} - a^{2}) = 0 \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} l^{2} = a^{2} (k^{2} - 1) \\ l = a \sqrt[]{k^{2} - 1} \end{matrix}

és ekkor ahol a függvény eléri ezt a minimumot, ott az (1) kifejezés is 0. Ilyen

x

érték egy van:

\begin{matrix} x = \frac{l}{k^{2} - 1} = \frac{a}{\sqrt[]{k^{2} - 1}} . \end{matrix}

II. Megoldás: A feladatot geometriai úton is meg lehet oldani. Ismét elég pozitív

x

-ekre szorítkozni. Ekkor

\sqrt[]{a^{2} + x^{2}}

egy olyan derékszögű háromszög átfogóját jelenti, melynek befogói

a

és

x

hosszúságúak. Legyen az

x

oldal mellett fekvő szög

α

, akkor

x = \frac{a}{tg α}

és

\sqrt[]{a^{2} + x^{2}} = \frac{a}{sin α}

. Célszerű lesz

k

helyett is trigonometriai kifejezést keresni. Tekintve, hogy

k > 1

, van egy olyan

φ

hegyes szög, melyre

k = \frac{1}{cos φ}

mivel

k \neq 1

φ > 0

, ekkor a függvény így írható át:

\begin{matrix} f (x) = \frac{1}{cos φ} \cdot \frac{a}{sin α} - \frac{a}{tg α} = a (\frac{1}{cos φ} \cdot \frac{1}{sin α} - \frac{cos α}{sin α}) = a (\frac{1 - cos α cos φ}{sin α cos φ}) . \end{matrix}

Vonjunk ki és adjunk hozzá a függvényhez

a \cdot tg φ

-t:

\begin{matrix} f (x) = a (\frac{1 - cos α cos φ}{sin α cos φ} - \frac{sin φ}{cos φ} + tg φ) = \\ = a (\frac{1 - (cos α cos φ + sin α sin φ)}{sin α cos φ} + tg φ) = a (\frac{1 - cos (α - φ)}{sin α cos φ} + tg φ) . \end{matrix}

A függvény értéke akkor lesz minimális, ha az első tag 0, vagyis, ha

cos (α - φ) = 1

és így

α = φ

, tehát

x = \frac{a}{tg φ} = \frac{a}{\sqrt[]{\frac{1}{cos^{2} φ} - 1}} = \frac{a}{\sqrt[]{k^{2} - 1}}

és a minimális érték

\begin{matrix} a tg φ = a \sqrt[]{k^{2} - 1} . \end{matrix}