Kezdőlap


Feladat:	188. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/október, 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/március: 188. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott kifejezést $N$ -nel és írjuk a következő alakba:

\begin{matrix} N = a_{1} a_{2} ... a_{2 n} [(a_{1}^{2} - 1) - (a_{2}^{2} - 1) + (a_{3}^{2} - 1) - (a_{4}^{2} - 1) + + ... + (a_{2 n - 1}^{2} - 1) - (a_{2 n}^{2} - 1)] . \end{matrix}

Ha a

2 n

darab szám közül legalább egy páros, akkor

N

2-vel osztható; ha mind páratlan, akkor

a_{i}^{2}

(

i = 1

, 2,

...

2 n

) is páratlan, akkor

a_{i}^{2} - 1

páros, és így

N

is páros. Tehát

N

mindig osztható 2-vel. Ha a számok közül legalább egy osztható 3-mal, akkor

N

is osztható; ha egyik sem osztható 3-mal, akkor, mivel

a_{i}^{2} - 1 = (a_{i} - 1)

(a_{i} + 1)

(ahol

i = 1

, 2,

...

2 n

) és

a_{i} - 1

és

a_{i} + 1

közül egyik mindig osztható 3-mal, így a zárójelben lévő mindegyik kifejezés, tehát

N

is mindig osztható 3-mal.

N

osztható 2-vel és 3-mal és minthogy 2 és 3 relatív prímszámok,

N

osztható

2 \cdot 3 = 6

-tal is.