A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Jelöljük ki a négyszög azon pontjait, melyek egy csúcstól éppen távolságra vannak. Olyan körívet kapunk, mely a szemközti csúcsból induló két oldal középpontján megy keresztül.
Csak az ezen a köríven túl eső pontok vannak az első csúcstól -nél nagyobb távolságra. Ha mind a négy csúcshoz kijelöljük azokat a pontokat, melyek attól nagyobb távolságra vannak, akkor a négy keletkező idom nem nyúlik egymásba, mert a határoló körívek az oldalközéppontokon mennek át. Így nincs olyan pont, amelyik két idom belsejében lenne egyszerre, tehát mely egyszerre két csúcstól lenne -nél nagyobb távolságra. II. megoldás: Legyen az egységnyi oldalhosszúságú négyzet. Húzzuk meg az átlókat és az oldalak középpontjait összekötő egyeneseket. Ezek nyolc háromszögre osztják a négyzetet. Ha az egyikben volna olyan pont, mely egynél többtől volna nagyobb távolságra, mint , akkor mindegyikben volna, mert tükrözve sorra a meghúzott egyenesekre az egész négyzet mindig magába megy át. Úgy azonban, hogy egy kis háromszög az egész négyzetet végigjárja. Mindazok a pontok, amelyekkel eközben helyet cserél, szintén legalább két csúcstól volnának -nél nagyobb távolságra, tehát mindegyik háromszögben volna ilyen pont.
Elég tehát egy háromszögről megmutatni, hogy nincs benne olyan pont, mely két csúcstól -nél nagyobb távolságra van. Legyen az oldal középpontja, a négyzet középpontja és nézzük az -et. -tól legmesszebb az pontja van, távolsága . -től a háromszög csúcsa van legmesszebb, távolságra. -től a legtávolabbi pont szintén , távolsága , ez -nél nagyobb. Végül -től a háromszög csúcsa fekszik legmesszebb, éppen távolságra. Ezzel pontosabban azt bizonyítottuk be, hogy a négyzetben levő pontoknak a négy csúcstól vett távolsága közül a legnagyobb legfeljebb , a második legfeljebb , a harmadik legfeljebb lehet, és a legkisebb is elérheti az értéket. De fordítva is: van olyan pont, amelyik egy csúcstól távolságra van: a szemközti csúcs, van olyan pont, mely két csúcstól legalább távolságra van, például (-től és -től éppen távolságra van). Három csúcstól legalább távolságra van a negyedik csúcs; végül az középpont egy csúcshoz sincs -nél közelebb. |