Feladat: 184. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1950/május, 140 - 141. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1950/február: 184. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük ki a négyszög azon pontjait, melyek egy csúcstól éppen 5/2 távolságra vannak. Olyan körívet kapunk, mely a szemközti csúcsból induló két oldal középpontján megy keresztül.

 
 

Csak az ezen a köríven túl eső pontok vannak az első csúcstól 5/2-nél nagyobb távolságra. Ha mind a négy csúcshoz kijelöljük azokat a pontokat, melyek attól 5/2 nagyobb távolságra vannak, akkor a négy keletkező idom nem nyúlik egymásba, mert a határoló körívek az oldalközéppontokon mennek át. Így nincs olyan pont, amelyik két idom belsejében lenne egyszerre, tehát mely egyszerre két csúcstól lenne 5/2-nél nagyobb távolságra.
 

II. megoldás: Legyen ABCD az egységnyi oldalhosszúságú négyzet. Húzzuk meg az átlókat és az oldalak középpontjait összekötő egyeneseket. Ezek nyolc háromszögre osztják a négyzetet. Ha az egyikben volna olyan P pont, mely egynél többtől volna nagyobb távolságra, mint 5/2, akkor mindegyikben volna, mert tükrözve sorra a meghúzott egyenesekre az egész négyzet mindig magába megy át. Úgy azonban, hogy egy kis háromszög az egész négyzetet végigjárja. Mindazok a pontok, amelyekkel P eközben helyet cserél, szintén legalább két csúcstól volnának 5/2-nél nagyobb távolságra, tehát mindegyik háromszögben volna ilyen pont.
 
 

Elég tehát egy háromszögről megmutatni, hogy nincs benne olyan pont, mely két csúcstól 5/2-nél nagyobb távolságra van. Legyen E az AB oldal középpontja, O a négyzet középpontja és nézzük az AOEΔ-et. A-tól legmesszebb az O pontja van, távolsága 1/2. B-től a háromszög A csúcsa van legmesszebb, 1 távolságra. C-től a legtávolabbi pont szintén A, távolsága 2, ez 5/2-nél nagyobb. Végül D-től a háromszög E csúcsa fekszik legmesszebb, éppen 5/2 távolságra.
Ezzel pontosabban azt bizonyítottuk be, hogy a négyzetben levő pontoknak a négy csúcstól vett távolsága közül a legnagyobb legfeljebb 2, a második legfeljebb 5/2, a harmadik legfeljebb 1 lehet, és a legkisebb is elérheti az 1/2 értéket. De fordítva is: van olyan pont, amelyik egy csúcstól 2 távolságra van: a szemközti csúcs, van olyan pont, mely két csúcstól legalább 5/2 távolságra van, például E (C-től és D-től éppen 5/2 távolságra van). Három csúcstól legalább 1 távolságra van a negyedik csúcs; végül az O középpont egy csúcshoz sincs 1/2-nél közelebb.