Kezdőlap


Feladat:	175. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/március, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/szeptember: 175. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek egy háromszög oldalai növekvő sorrendben $a$ , $b$ , $c$ , és legyen $b = a q$ , $c = a q^{2} (q \geq 1)$ . Ezek közt teljesülnek a háromszög-egyenlőtlenségek, így többek között

\begin{matrix} c < a + b azaz a q^{2} < + a q . \end{matrix}

(A másik két egyenlőtlenség magától értetődően teljesül.) Mivel a pozitív, ahhoz, hogy ez teljesüljön,

\begin{matrix} q^{2} - q - 1 < 0 \end{matrix}

kell, hogy legyen. Ez a baloldali kifejezés két 0-helye közt teljesül, mivel

q

ezen kívül 1-nél nagyobb is kell legyen, így azon mértani sorok felelnek meg, melyek hányadosára

\begin{matrix} 1 \leq q < \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} . \end{matrix}

Derékszögű háromszögnél

\begin{matrix} a^{2} q^{4} = a^{2} + a^{2} q^{2}, tehát q^{4} - q^{2} - 1 = 0 \end{matrix}

kell legyen, aminek pozitív valós megoldása

\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}}

, tehát azok a derékszögű háromszögek felelnek meg, amelyek hasonlók az 1,

\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}}

\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}

oldalakkal bíróhoz.