Feladat: 173. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1950/március, 86 - 87. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1948/szeptember: 173. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A negyedfokú egyenlet megoldása könnyebb, ha nem szerepel benne harmadfokú tag. Ha itt x helyébe (y-14)-et teszünk, akkor az egyenletben nem lesz harmadfokú tag, mert

(y-14)4=y4-y3+6y216-y16+1256
és
(y-14)3=y3-3y24+3y16-164.
Tekintve, hogy mindkettőt 16-al kell szorozni és összeadni, y3 kiesik és az összes behelyettesítést elvégezve, majd összevonva kapjuk, azt hogy
16y4-10y2+2516=0,
a törtet eltávolítva
162y4-2165y2+52=0.
A baloldal teljes négyzet, így az egyenlet így írható:
(16y2-5)2=0.
Az egyenlet megoldása
y=±54vagyisx=y-14=±5-14
 

Megjegyzés: Az átalakításból persze az is kiderül, hogy az eredeti egyenlet baloldala is másodfokú kifejezés négyzete kell legyen és valóban
16x4+16x3-4x2-4x+1=(4x2+2x-1)2,
amiből ismét adódnak a fenti gyökök.