Kezdőlap


Feladat:	172. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/március, 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Szabályos testek, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/szeptember: 172. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felezzük meg az $A B C D$ szabályos tetraéder oldalait, és a pontokat jelöljük az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokkal. Ezek a pontok a tetraédert 5 testre bontják.

Jelöljük az

A B C D

tetraéder élhosszúságát

2 a

-val, akkor az

A 146

;

B 251

;

C 326

és

D 453

idomok szabályos tetraéderek lesznek, melyeknek egy-egy éle

a

hosszúságú, az eredeti tetraéder élének fele. Az 1 2 3 4 5 6 idom pedig szabályos oktaéder lesz, mivel minden lapja egybevágó szabályos háromszög, melynek éle szintén

a

. Mivel a kis tetraéder hasonló a nagyhoz és éle a nagyénak fele, így a köbtartalma annak 8-ad része lesz. (két hasonló test köbtartalma úgy aránylik egymáshoz, mint a megfelelő távolságok, például az élek, köbei.) A kis tetraéderek térfogatát

K_{t}

-vel, az oktaéderét

K_{0}

-val jelölve ezek szerint

\begin{matrix} 4 K_{t} + K_{0} = 8 K_{t} azaz K_{0} = 4 K_{t}, \end{matrix}

tehát a szabályos oktaéder térfogata 4-szer akkora, mint a vele egyenlő élhosszúságú szabályos tetraéderé.