Feladat: 167. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1950/február, 43. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1948/május: 167. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a háromszög beírt körének sugara ϱ, a körülírté legyen r. Felezzük meg a háromszög oldalait s a felezőpontok által meghatározott háromszög köré írjunk kört. Ennek a sugara r/2. Húzzunk most e körhöz az eredeti háromszög oldalaival párhuzamos érintőket. Ezek az eredeti háromszöghöz hasonló háromszöget alkotnak, mely tartalmazza az eredetit. Beírt köre tehát legalább akkora, mint az eredetié. De ez a beírt kör a mi oldalfelező körünk, tehát r/2≧ϱ azaz ϱ/r≦1/2. Egyenlőség csak akkor következik be, ha a két háromszög egybeesik, vagyis ha a felező kör érinti mind a három oldalát. Ez egyedül a szabályos háromszögnél következik be.
A beírt kör sugara tetszőleges kicsi pozitív érték lehet, ha a háromszög ,,szinte" elfajuló.

 

Megjegyzés: A feladatnak sok különböző megoldása ismeretes.
Az itt kiválasztott megoldás Ádám Istvántól ered, aki egész fiatalon, nem egészen 20 éves korában esett a fasiszta háború áldozatául. A megoldást azonban nem csupán kegyeletből közöljük. Kiválik ez a megoldás egyszerűségével, eleganciájával. Hogy mennyire ez az ,,igazi" bizonyítása a tételnek, azt legjobban az mutatja, hogy azon Fejér Lipót által felvetett problémának, vajon igaz-e a térben a tetraédert belülről érintő gömb és a tetraéder köré írt gömb r és R sugarára az analóg R≥3r egyenlőtlenség, az Ádámé előtt ismert megoldások nem voltak átvihetők. Ádám megoldása viszont szó szerint vihető át a térbeli esetre is. Ádám szép eredményét azóta Fejes Tóth László két szép dolgozatban nagymértékben általánosította. Lásd ide vonatkozólag Turán Pál: Megemlékezés. (Matematikai Lapok I. évf. 1. szám 3‐15 old., közelebbről 13., 14. old.)