A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a háromszög beírt körének sugara , a körülírté legyen . Felezzük meg a háromszög oldalait s a felezőpontok által meghatározott háromszög köré írjunk kört. Ennek a sugara . Húzzunk most e körhöz az eredeti háromszög oldalaival párhuzamos érintőket. Ezek az eredeti háromszöghöz hasonló háromszöget alkotnak, mely tartalmazza az eredetit. Beírt köre tehát legalább akkora, mint az eredetié. De ez a beírt kör a mi oldalfelező körünk, tehát azaz . Egyenlőség csak akkor következik be, ha a két háromszög egybeesik, vagyis ha a felező kör érinti mind a három oldalát. Ez egyedül a szabályos háromszögnél következik be. A beírt kör sugara tetszőleges kicsi pozitív érték lehet, ha a háromszög ,,szinte" elfajuló.
Megjegyzés: A feladatnak sok különböző megoldása ismeretes. Az itt kiválasztott megoldás Ádám Istvántól ered, aki egész fiatalon, nem egészen 20 éves korában esett a fasiszta háború áldozatául. A megoldást azonban nem csupán kegyeletből közöljük. Kiválik ez a megoldás egyszerűségével, eleganciájával. Hogy mennyire ez az ,,igazi" bizonyítása a tételnek, azt legjobban az mutatja, hogy azon Fejér Lipót által felvetett problémának, vajon igaz-e a térben a tetraédert belülről érintő gömb és a tetraéder köré írt gömb és sugarára az analóg egyenlőtlenség, az Ádámé előtt ismert megoldások nem voltak átvihetők. Ádám megoldása viszont szó szerint vihető át a térbeli esetre is. Ádám szép eredményét azóta Fejes Tóth László két szép dolgozatban nagymértékben általánosította. Lásd ide vonatkozólag Turán Pál: Megemlékezés. (Matematikai Lapok I. évf. 1. szám 3‐15 old., közelebbről 13., 14. old.) |