Kezdőlap


Feladat:	166. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/február, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/május: 166. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $C$ -vel azt a pontot, ahol a kört elértük. Legyen $D$ az ezzel diametrálisan szemben levő pont a körben: ekkor $C D$ a körnek egy átmérője. $A D B C$ paralelogramma, mert $A B$ és a $C D$ átmérő felezik egymást a kör középpontjában. Így megtett útunk, azaz $A C + C B = A C + A D$ az $A D C$ háromszögből a $C D$ átmérőnél nagyobb, vagy legfeljebb egyenlő vele. Egyenlőség csak akkor állhat elő, ha $C$ az $A B$ pontok által meghatározott átmérő egy végpontja: ekkor tehát utunk éppen a körátmérő hossza, minimális.

Tekintsük most már azon ellipszist, melynek fókuszpontjai

A

és

B

, kistengelye az

A B

által meghatározott körátmérőre merőleges körátmérő. Ez az ellipszis érinti a kört kívülről a kistengely végpontjaiban. Ha az

A C

úton továbbmegyünk a körtől az ellipszis

C'

pontjáig és onnan

B

-be, akkor

B C C' ▵

-ből

B C' + C C' ≧ B C

, tehát

A C + C B ≦ A C + C C' + B C' = A C' + B C'

. Ez az összeg pedig az ellipszis kerületén állandó, ugyanannyi, mint a kistengely végpontjában. Ez tehát az a pontja a körnek, melyben nagyobb a két távolság összege, mint bármely más pontban.

Megjegyzés: A megoldás második feléhez hasonlóan indokolhattuk volna, az első felét is. Ott meg az

A

és

B

fókuszpontokhoz a kört belülről érintő ellipszist lehet megrajzolni. Az ezen kívül fekvő pontokat

A

-val és

B

-vel összekötő távolságok összege nagyobb, mint az ellipszis kerületén fekvő bármely ponté, vagyis az

A

-a és

B

-n átmenő átmérő végpontjaiból húzott távolságok összege kisebb, mint a kör bármely más pontjából húzottaké.
Ezzel a megjegyzéssel könnyen megadhatjuk a választ arra az esetre is, ha

A

és

B

két tetszőleges pont a kör belsejében. Akkor is olyan ellipsziseket kell rajzolni, melyeknek gyújtópontja

A

és

B

és az egyik belülről, a másik pedig kívülről érinti a kört. A két érintési pont adja a maximális, illetve minimális távolság-összeget szolgáltató pontokat. A bizonyítás szó szerint ugyanúgy végezhető, mint a fenti speciális esetben csak a pontok megszerkesztése lényegesen nehezebb és általában csak körző és vonalzó segítségével nem is oldható meg.