Kezdőlap


Feladat:	164. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/február, 39 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/május: 164. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Egy számot ismerünk, melynek két $4$ -esre végződik a négyzete: $12^{2} = 144$ . Ha $a^{2}$ is két $4$ -esre végződik, akkor a különbségük: $a^{2} - 144 = (a + 12) (a - 12)$ két $0$ -ra végződik, vagyis osztható $100$ -zal. Ez csak úgy lehet, ha $a$ páros, továbbá a szorzat osztható $25$ -tel. Ez viszont elképzelhető úgy is, hogy valamelyik tényező osztható $25$ -tel, meg úgy is, hogy mindkettő osztható $5$ -tel. Utóbbi esetben azonban a két tényező összege meg különbsége is osztható volna $5$ -tel, de ennek a két tényezőnek $24$ a különbsége, tehát nem osztható $5$ -tel. Így csak az előbbi eset lehetséges. $a + 12$ páros $a$ mellett akkor osztható $25$ -tel, ha $a$ $38$ -ra vagy $88$ -ra végződik. $a - 12$ pedig, akkor, ha $a$ utolsó két jegye $12$ vagy $62$ .
A négyzet utolsó két jegye csak az alap utolsó két jegyétől függ. $38^{2} = 1444$ , $88^{2} = 7744$ , $12^{2} = 144$ , $62^{2} = 3844$ .
Így minden $12$ -re, $38$ -ra, $62$ -re és $88$ -ra végződő szám négyzete két $4$ -esre végződik.
2. Közben találtunk egy három $4$ -esre végződő számot is, az megint hasonló jó szolgálatokat fog tenni, mint előbb a $12$ . Ha $b^{2}$ is három $4$ -esre végződik, akkor

\begin{matrix} b^{2} - 1444 = (b + 38) (b - 38) . \end{matrix}

osztható

1000 = 8 \cdot 125

-tel. Ebben

b

-nek párosnak kell lennie, mert csak akkor lesznek a tényezők párosak, tehát a szorzat legalábbis

4

-gyel osztható. Hogy még

8

-cal is osztható legyen, ahhoz valamelyik tényezőnek

4

-gyel is oszthatónak kell lennie. Könnyű belátni, hogy ez esetben mind a két tényező

4

-gyel osztható.
A szorzatnak ezen kívül

125

-tel kell oszthatónak lennie Ez csak úgy lehet, hogy valamelyik tényező külön osztható

125

-tel, mert legalább az egyik relatív prím

125

-höz. Ha ugyanis két szám mindegyikének van

1

-nél nagyobb közös osztója,

125 = 5^{3}

-nel, akkor ez csak 5 valamelyik hatványa lehet, tehát mind a két szám, s így pl. a különbségük is osztható

5

-tel. De esetünkben

(b + 38) - (b - 38) = 76

relatív prím

125

-höz, tehát legalább az egyik szám szintén relatív prím hozzá.
Azt nyertük tehát, hogy a

b

négyzete három

4

-esre végződik, akkor

b + 38

b - 38

is osztható

4

-gyel és valamelyikük még

125

-tel is. Valamelyik tényező tehát osztható

500

-zal, s így az utolsó három számjegye vagy

000

, vagy

500

. Az első tényező akkor végződhetik így, ha

b

962

-re vagy

462

-re végződik, a második akkor, ha

b

utolsó három jegye

038

vagy

538

. Bármely szám négyzetének utolsó három számjegye csak az alap utolsó bárom számjegyétől függ, mert

\begin{matrix} {(A \cdot 1000 + B)}^{2} = A^{2} \cdot 1000^{2} + 2 \cdot A \cdot B \cdot 1000 + B^{2} = \\ = (A^{2} \cdot 1000 + 2 A B) \cdot 1000 + B^{2} . \end{matrix}

Azt kell tehát csak megnéznünk, hogy a talált négy szám négyzete tényleg három

4

-esre végződik-e.

\begin{matrix} 38^{2} = 1444, 462^{2} = 213444, 538^{2} = 289444, 962^{2} = 925444. \end{matrix}

Ezek szerint a

12

-re,

38

-ra,

62

-re és

88

-ra végződő számok négyzetei végződnek két

4

-esre és ezek közül a

038

-ra,

462

-re,

538

-ra és

962

-re végződő számoké három

4

-esre.