Feladat: 163. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1950/február, 39. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú diofantikus egyenletek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1948/május: 163. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Több egyező páratlan jegyre nem végződhet négyzetszám, mert páratlan négyzetszám utolsó előtti jegye páros. Legyen ugyanis (10a+b)2 az adott szám, ahol b az utolsó számjegyet jelenti.

(10a+b)2=100a2+10⋅2ab+b2
A szám második jegye 2ab utolsó számjegyéből és b2 tízes jegyéből tevődik össze. Előbbi biztosan páros, mert 2ab páros. b viszont 1, 3, 5, 7, vagy 9 és ezek négyzetének tízes jegye mindig páros. (Ha nincs tízes jegye, akkor is írhatunk helyette 0-t és a 0 is páros szám, hiszen 2 megvan benne maradék nélkül: 0-szor.)
Ezek szerint legfeljebb páros négyzetszámok végződhetnek egyező jegyekre. Páros négyzetszám osztható 4-gyel, a 4-gyel osztható számoknak viszont az utolsó két jegyéből álló szám külön is osztható 4-gyel. Egyező jegyekre végződő számnál az utolsó két jegyből álló szám 11 c alakú, tehát c-nek 4-gyel oszthatónak kell lennie, ezen kívül c egy páros négyzetszám utolsó jegye, tehát csak 0, 4 vagy 6 lehet. 0-ra persze akárhányra végződhetik négyzetszám, csak mindig páros számúra. Ezt az esetet rekesszük ki. Ekkor csak 4-es lehet az ismétlődő számjegy (hiszen 6 nem osztható 4-gyel).
Egy négy egyező jegyre végződő négyzetszám tehát ilyen alakú: 10000d+4444. Ennek a negyede, 100⋅25d+1111 is négyzetszám kell hogy legyen: de minden ilyen szám 11-re végződik, tehát az előzőek szerint nem lehet négyzetszám. Négyzetszám tehát nem végződhet négy vagy több egyező jegyre, csak ha 0-kra végződik.