Kezdőlap


Feladat:	157. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/május, 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binominális együtthatók prímtényezős felbontása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/május: 157. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hasonlóan számítjuk ki $(\binom{m}{n})$ egy törzstényezőjének kitevőjét, mint ahogy a fenti feladatban speciális esetekben tettük.

\begin{matrix} (\binom{m}{n}) = \frac{m!}{n! (m - n)! .} \end{matrix}

Egy

p

prímszám kitevője

m!

n!,

(m_{n})!

törzstényezős felbontásában sorra

\begin{matrix} [\frac{m}{p}] + [\frac{m}{p^{2}}] + ... + [\frac{m}{p^{k}}], [\frac{n}{p}] + [\frac{n}{p^{2}}] + ... + [\frac{n}{p^{k}}], \end{matrix}

és

\begin{matrix} [\frac{m - n}{p}] + [\frac{m - n}{p^{2}}] + ... + [\frac{m - n}{p^{k}}], ahol p^{k} ≦ m < p^{k + 1}, \end{matrix}

(\binom{m}{n})

-ben tehát

p

kitevője

\begin{matrix} ([\frac{m}{n}] - [\frac{n}{p}] - [\frac{m - n}{p}]) + ([\frac{m}{p^{2}}] - [\frac{n}{p^{2}}] - [\frac{m - n}{p^{2}}]) + ... + \\ + ([\frac{m}{p^{k}}] - [\frac{n}{p^{k}}] - [\frac{m - n}{p^{k}}]) . \end{matrix}

Ezen tagok mindegyike csak

0

vagy

1

lehet a 154. feladat állítása szerint (viszont

k

-t már úgy választottuk, hogy mindegyik tag lehessen ténylegesen is

1

p

kitevője tehát legfeljebb

k

egyesből adódik össze, tehát legfeljebb

k

lehet.

k

-t azonban éppen úgy kellett választanunk, hogy

p^{k} ≦ m

legyen, tehát

(\binom{m}{n})

valóban nem osztható

p

-nek

m

-nél nagyobb értékű hatványával.