Kezdőlap


Feladat:	156. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1950/május, 136 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/május: 156. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$10 = 2 \cdot 5$ és egy szám annyi $0$ -ra végződik, ahányadik hatványával osztható $10$ -nek. $2$ és $5$ kitevőjét kell tehát megkeresnünk az egyes számok törzstényezős felbontásában. Használva az $n!$ törzstényezős felbontásra vonatkozó Legendre-féle azonosságot:

\begin{matrix} (\binom{48}{24}) = \frac{48!}{{(24!)}^{2}} = \frac{2^{24 + 12 + 6 + 3 + 1} \cdot 3^{16 + 5 + 1} \cdot 5^{9 + 1} ...}{{(2^{12 + 6 + 3 + 1} \cdot 3^{8 + 2} \cdot 5^{4} ...)}^{2}} . \end{matrix}

Egyszerűsítés után

2

és

5

kitevője

(\binom{48}{24})

-ben

\begin{matrix} 24 + 12 + 6 + 3 + 1 - 2 (12 + 6 + 3 + 1) = 2, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} 9 + 1 - 2 \cdot 4 = 2, \end{matrix}

tehát

(\binom{48}{24})

két

0

-ra végződik.

(\binom{100}{50})

-ben

2

és

5

kitevője hasonlóan

50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 - 2 (25 + 12 + 6 + 3 + 1) = 3

, ill.

20 + 4 - 2 (10 + 2) = 0

(\binom{100}{50})

tehát nem végződik

0

-ra.

(\binom{1000}{488}) = \frac{1000!}{488! 512!}

-nál egyrészt bonyolultabb a nevező, mint az előzőkben, másrészt pedig a Legendre azonosság alapján is igen hosszadalmas lenne a számítás. Célszerű lesz ezért megnézni először általánosabban, hogy mi egy

p

törzsszám kitevője ebben a számban. Jelöljük

p

kitevőjét

1000!

-ban,

488!

-ban és

512!

-ban

α

β

és

γ

-val.

\begin{matrix} α = [\frac{1000}{p}] + [\frac{1000}{p^{2}}] + ... + [\frac{1000}{p^{k}}], ahol p^{k + 1} > 1000, \\ β = [\frac{488}{p}] + [\frac{488}{p^{2}}] + ... + [\frac{488}{p^{k}}] \\ és \\ γ = [\frac{512}{p}] + [\frac{512}{p^{2}}] + ... + [\frac{512}{p^{k}}] . \end{matrix}

p

kitevője

(\binom{1000}{488})

-ban

\begin{matrix} α - β - γ = ([\frac{1000}{p}] - [\frac{488}{p}] - [\frac{512}{p}]) + \\ + ([\frac{1000}{p^{2}}] - [\frac{488}{p^{2}}] - [\frac{512}{p^{2}}]) + ... + ([\frac{1000}{p^{k}}] - [\frac{488}{p^{k}}] - [\frac{512}{p^{k}}]) . \end{matrix}

Itt a 154. feladat állítása szerint minden zárójelben

0

, vagy

1

áll, azt kell tehát csak eldöntenünk tagról-tagra, hogy melyik eset áll fenn.

p = 2

-re például minden tag

0

, s így

(\binom{1000}{488})

páratlan, nem végződhet

0

-ra. (

5

-re fog végződni, mert

5

kitevőjében a lehetséges négy tagból egy sem hiányzik.)
Hasonlóan számolva a további kifejezéseknél azt kapjuk, hogy

(\binom{1000}{500})

2

-nek a hatodik,

5

-nek az első hatványát tartalmazza, tehát egy

0

-ra végződik.

(\binom{126}{63})

2

-nek hatodik hatványával osztható,

5

-nek harmadik hatványával tehát három

0

-ra végződik.

(\binom{128}{64}) = \frac{127 \cdot 128}{64 \cdot 64} (\binom{126}{63}) = \frac{127}{25} (\binom{126}{63})

, tehát

5

-nek ugyanazon hatványával osztható, mint az előbbi,

2

-nek azonban csak az első hatványával. Így ez egy

0

-ra végződik.