Kezdőlap


Feladat:	155. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1950/május, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/május: 155. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást a második formájában igazoljuk:

\begin{matrix} (\binom{m}{n}) = \frac{m!}{n! (m - n)!} \end{matrix}

Nyilván a nevező minden prímtényezője a számlálónak is

(m > n)

prímtényezője, elég tehát azt bizonyítanunk, hogy egy akármilyen

p

prímszám a számlálóban magasabb vagy egyenlő kitevővel szerepel, mint a nevezőben. A számlálóban

p

kitevője:

\begin{matrix} ν = [\frac{m}{p}] + [\frac{m}{p^{2}}] + [\frac{m}{p^{3}}] + ... \end{matrix}

a nevezőben

p

kitevője:

\begin{matrix} μ = ([\frac{n}{p}] + [\frac{m - n}{p}]) + ([\frac{n}{p^{2}}] + [\frac{m - n}{p^{2}}]) + ([\frac{n}{p^{3}}] [\frac{m - n}{p^{3}}]) + ... \end{matrix}

De az előző feladat szerint

[a + b] ≧ [a] + [b]

. Ezt alkalmazva

(ha a = \frac{n}{p^{k}}, b = \frac{m - n}{p^{k}}, k = 1,2, ...)

kapjuk, hogy

ν ≧ μ

, amit bizonyítani akartunk.