Feladat: 152. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Czibere T. és Nagy F. ,  Czipszer J. ,  Farkas I. (Bp.) ,  Gacsályi S. ,  Gehér László ,  Károlyházi F. ,  Korányi Á. ,  Kővári T. ,  Kutassy Ildikó ,  Szépfalussy P. ,  Szűcs L. ,  Tarnóczi T. ,  Vörös M. 
Füzet: 1948/szeptember, 167 - 168. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trapézok, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1948/február: 152. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek adva az ABCD trapéz AB=a, CD=b oldala és a ACB∢=α és DBC∢=β szögek (49. ábra).

 
49. ábra
 

Ekkor C-ből BD-vel párhuzamost húzunk, melynek AB-vel való metszéspontját C'-vel jelöljük; akkor BC'CD négyszög parallelogramma, tehát C'B=CD=b és BCC'∢=CBD∢=β. A C pont tehát egy olyan pont, ahonnan BC'β szög alatt, AB pedig α szög alatt látszik. Az ilyen pontok mértani helye egy-egy körív, melyek átmennek a B és C' ill. az A és B pontokon és egymást B-ben és a keresett C pontban metszik. A szerkesztés tehát úgy történik, hogy a két párhuzamos oldalt egymás után felmérjük egy egyenesre és a fölé az α, b fölé a β szögnek megfeleld köríveket megszerkesztjük, melyeknek a másik metszéspontja megadja C-t. Innen AB-vel párhuzamost húzunk és rámérjük b=DC-t. Nyilván szükséges, hogy α+β<π legyen.
 

Gehér László (Zalaegerszegi gimn. VII. o.)
 

II. megoldás: Tegyük fel, hogy ABCD a keresett trapéz. Az első megoldás jelöléseivel és ha az átlók metszéspontja O, nyilván AOB∢=α+β és AOB▵∼COD▵, tehát OA:OC=a:b (50. ábra).
 
49. ábra
 

Így mindjárt tudunk a keresett trapézhez hasonlót szerkeszteni. Rajzoljunk egy O ponttól α+β nagyságú szöget. Ennek egyik szárára mérjünk O-tól ellenkező irányban OA1=a, OC1=b távolságot. A1-ből A1O-ra mérjük rá a β szöget. Ennek szára messe az O-n átmenő másik egyenest D1-ben, végül A1-ből C1D1-gyel párhuzamost húzva, messe ez D1O-t B1-ben. Ekkor könnyen látható, hogy A1B1C1D1 hasonló a keresett trapézhez. A1B1-re mérjük rá A1-ből a-t és ennek végpontjától húzzunk A1C1-gyel párhuzamost, ez messe B1D1-et B-ben. Ebből B1A1-el OA1-ig párhuzamost húzva B-ből és a keletkezett A-ból pedig a szárakkal párhuzamost húzva, amíg az átlókat nem metszik, könnyen látható, hogy trapézt kapunk, mely már az összes feltételt kielégíti.