Kezdőlap


Feladat:	151. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aradi E. , Baumann F. , Béres F. és Kováács S. , Bernáth K. , Bognár J. , Buzi K. , Czibere T és Nagy F. , Czipszer J. , Findler M. , Fried E. , Gacsályi S. , Gehér L. , Gilyén N. , Károlyházi F. , Korányi Á. , Kővári T. , Markó J. , Osztroluczky Klára , Róna P. , Salamon Á. , Szeghy I. , Szűcs L. , Tamás H. , Tamás I. , Tar Kató , Tarnóczi T. , Vermes R. , Zergényi Erzsébet
Füzet:	1948/szeptember, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Kombinatorikai leszámolási problémák, Párhuzamos szelők tétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/február: 151. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $C_{0}$ , $C_{1}$ , $C_{2}$ , $...$ $C$ pontokból a befogókkal húzott párhuzamosok egyenlő részekre osztják a másik befogót. Így $C_{0} C = a$ , $C_{n} C = b$ , $C_{0} C_{n} = c$ jelöléssel: $C C_{0}^{2} = a^{2}$ , $C C_{1}^{2} = {(\frac{(n - 1) a}{n})}^{2} + {(\frac{b}{n})}^{2}$ , $C C_{2}^{2} = {(\frac{(n - 2) a}{n})}^{2} + {(\frac{2 b}{n})}^{2}$ , $...$ , $C C_{n - 1}^{2} = {(\frac{a}{n})}^{2} + {(\frac{(n - 1) b}{n})}^{2}$ , $C C_{n}^{2} = b^{2}$ . Összeadva: $C C_{0}^{2} + C C_{1}^{2} + ... + C C_{n}^{2} = \frac{(a^{2} + b^{2})}{n^{2}} (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2})$ . Mint ismeretes (3. szám 40. oldal): $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ , tehát a keresett összeg így írható:

\begin{matrix} \frac{c^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n} \cdot c^{2} = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n} A B^{2} . \end{matrix}

Zergényi Erzsébet (Sopron, áll. gimn. VI. o.)